Упр.20.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=-\sin x.$$

Тогда первообразная имеет вид $$F(x)=\cos x+C.$$

Из условия $$F\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-15$$ получаем:

$$\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+C=-15,$$

$$-\frac12+C=-15,$$

$$C=-\frac{29}{2}.$$

Значит, $$F(x)=\cos x-\frac{29}{2}.$$

б) $$f(x)=\sin x\cdot \cos 3x=\frac12\bigl(\sin 4x-\sin 2x\bigr).$$

Тогда

$$F(x)=\frac12\left(-\frac14\cos 4x+\frac12\cos 2x\right)+C=\frac14\cos 2x-\frac18\cos 4x+C.$$

Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{5}{12}$$ имеем:

$$\frac14\cos\frac{2\pi}{3}-\frac18\cos\frac{4\pi}{3}+C=\frac{5}{12},$$

$$\frac14\cdot\left(-\frac12\right)-\frac18\cdot\left(-\frac12\right)+C=\frac{5}{12},$$

$$-\frac18+\frac{1}{16}+C=\frac{5}{12},$$

$$C=\frac{23}{48}.$$

Следовательно, $$F(x)=\frac14\cos 2x-\frac18\cos 4x+\frac{23}{48}.$$

в) $$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=-\cos x.$$

Тогда $$F(x)=-\sin x+C.$$

Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=4{,}5$$ получаем:

$$-\sin\frac{\pi}{2}+C=4{,}5,$$

$$-1+C=4{,}5,$$

$$C=5{,}5.$$

Значит, $$F(x)=-\sin x+5{,}5.$$

г) $$f(x)=4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}=2\bigl(\cos x+\cos 2x\bigr).$$

Тогда первообразная:

$$F(x)=2\sin x+\sin 2x+C.$$

Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2+1$$ имеем:

$$2\sin\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{2}+C=\sqrt2+1,$$

$$2\cdot\frac{\sqrt2}{2}+1+C=\sqrt2+1,$$

$$C=0.$$

Следовательно, $$F(x)=2\sin x+\sin 2x.$$

Ответ

а) $$F(x)=\cos x-\frac{29}{2};$$ б) $$F(x)=\frac14\cos 2x-\frac18\cos 4x+\frac{23}{48};$$ в) $$F(x)=-\sin x+5{,}5;$$ г) $$F(x)=2\sin x+\sin 2x.$$