Упр.20.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 20.25. Для функции $$y=f(x)$$ найдите первообразную $$y=F(x)$$, которая принимает данное значение в указанной точке:
   
   а) $$f(x)=x^5+3x^2,\quad F(0)=-16$$;
   
   б) $$f(x)=14\sin x,\quad F\left(\frac{3\pi}{2}\right)=23$$;
   
   в) $$f(x)=10e^{5x-4},\quad F(0{,}8)=5$$;
   
   г) $$f(x)=\frac{1}{2-3x},\quad F\left(\frac{1}{3}\right)=1$$.

Найдём первообразную для каждой функции и затем подставим указанное значение.

1. $$f(x)=x^5+3x^2,\quad F(0)=-16.$$

   $$F(x)=\int (x^5+3x^2)\,dx=\frac{x^6}{6}+x^3+C.$$

   Подставим $$x=0$$:

   $$F(0)=\frac{0^6}{6}+0^3+C=C=-16.$$

   Значит,

   $$F(x)=\frac{x^6}{6}+x^3-16.$$

2. $$f(x)=14\sin x,\quad F\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=23.$$

   $$F(x)=\int 14\sin x\,dx=-14\cos x+C.$$

   Подставим $$x=\frac{3\pi}{2}$$:

   $$23=-14\cos\frac{3\pi}{2}+C=-14\cdot 0+C,$$

   откуда $$C=23.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-14\cos x+23.$$

3. $$f(x)=10e^{5x-4},\quad F(0{,}8)=5.$$

   $$F(x)=\int 10e^{5x-4}\,dx=10\cdot \frac{1}{5}e^{5x-4}+C=2e^{5x-4}+C.$$

   Подставим $$x=0{,}8$$:

   $$5=2e^{5\cdot 0{,}8-4}+C=2e^0+C=2+C,$$

   значит, $$C=3.$$

   Итак,

   $$F(x)=2e^{5x-4}+3.$$

4. $$f(x)=\frac{1}{2-3x},\quad F\!\left(\frac{1}{3}\right)=1.$$

   $$F(x)=\int \frac{1}{2-3x}\,dx=-\frac{1}{3}\ln|2-3x|+C.$$

   Подставим $$x=\frac{1}{3}$$:

   $$1=-\frac{1}{3}\ln\left|2-3\cdot \frac{1}{3}\right|+C=-\frac{1}{3}\ln 1+C=C.$$

   Следовательно, $$C=1.$$

   Ответ:

   $$F(x)=-\frac{1}{3}\ln|2-3x|+1.$$

Ответ

а) $$F(x)=\frac{x^6}{6}+x^3-16$$; б) $$F(x)=-14\cos x+23$$; в) $$F(x)=2e^{5x-4}+3$$; г) $$F(x)=-\frac{1}{3}\ln|2-3x|+1$$.