Упр.20.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Используем формулы приведения к сумме:
$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$
$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta),$$
$$\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha-\beta),$$
$$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta).$$
$$y=\sin \frac{x}{6}\cos \frac{5x}{6}+\cos \frac{x}{6}\sin \frac{5x}{6}=\sin\left(\frac{x}{6}+\frac{5x}{6}\right)=\sin x.$$
Тогда первообразная:
$$F(x)=-\cos x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{3\pi}{4};21\right):$$
$$21=-\cos \frac{3\pi}{4}+C= \frac{\sqrt2}{2}+C,$$
$$C=21-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Значит,
$$F(x)=-\cos x+21-\frac{\sqrt2}{2}.$$
$$y=\cos \frac{x}{5}\cos \frac{4x}{5}-\sin \frac{x}{5}\sin \frac{4x}{5}=\cos\left(\frac{x}{5}+\frac{4x}{5}\right)=\cos x.$$
Тогда первообразная:
$$F(x)=\sin x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{5\pi}{6};-9\right):$$
$$-9=\sin \frac{5\pi}{6}+C=\frac12+C,$$
$$C=-\frac{19}{2}.$$
Следовательно,
$$F(x)=\sin x-\frac{19}{2}.$$
$$y=\sin \frac{7x}{6}\cos \frac{x}{6}-\sin \frac{x}{6}\cos \frac{7x}{6}=\sin\left(\frac{7x}{6}-\frac{x}{6}\right)=\sin x.$$
Тогда первообразная:
$$F(x)=-\cos x+C.$$
Подставим точку $$M\left(-\frac{3\pi}{4};0\right):$$
$$0=-\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+C=-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+C=\frac{\sqrt2}{2}+C,$$
$$C=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Значит,
$$F(x)=-\cos x-\frac{\sqrt2}{2}.$$
$$y=\cos \frac{13x}{11}\cos \frac{2x}{11}+\sin \frac{13x}{11}\sin \frac{2x}{11}=\cos\left(\frac{13x}{11}-\frac{2x}{11}\right)=\cos x.$$
Тогда первообразная:
$$F(x)=\sin x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{2\pi}{3};-6\right):$$
$$-6=\sin \frac{2\pi}{3}+C=\frac{\sqrt3}{2}+C,$$
$$C=-6-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно,
$$F(x)=\sin x-6-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Ответ
а) $$F(x)=-\cos x+21-\frac{\sqrt2}{2};$$
б) $$F(x)=\sin x-\frac{19}{2};$$
в) $$F(x)=-\cos x-\frac{\sqrt2}{2};$$
г) $$F(x)=\sin x-6-\frac{\sqrt3}{2}.$$
