Упр.20.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку \(M\):
   а) $$y=1+\operatorname{tg}^2 x,\quad M\left(\frac{\pi}{3};5\right);$$
   б) $$y=2+2\operatorname{ctg}^2 x,\quad M\left(\frac{\pi}{4};-3\right);$$
   в) $$y=3+\operatorname{tg}^2 x,\quad M\left(-\frac{\pi}{6};4\right);$$
   г) $$y=\operatorname{ctg}^2 x-9,\quad M\left(-\frac{\pi}{3};-21\right).$$

Найдём первообразную для каждой функции и подберём константу по заданной точке.

1. $$y=1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

   Тогда

   $$F(x)=\tg x+C.$$

   Используем точку $$M\left(\frac{\pi}{3};5\right)$$:

   $$5=\tg\frac{\pi}{3}+C=\sqrt{3}+C,$$

   $$C=5-\sqrt{3}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\tg x+5-\sqrt{3}.$$

2. $$y=2+2\ctg^2 x=2\left(1+\ctg^2 x\right)=\frac{2}{\sin^2 x}.$$

   Тогда

   $$F(x)=-2\ctg x+C.$$

   Используем точку $$M\left(\frac{\pi}{4};-3\right)$$:

   $$-3=-2\ctg\frac{\pi}{4}+C=-2+C,$$

   $$C=-1.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-2\ctg x-1.$$

3. $$y=3+\tg^2 x=2+\frac{1}{\cos^2 x}.$$

   Тогда

   $$F(x)=2x+\tg x+C.$$

   Используем точку $$M\left(-\frac{\pi}{6};4\right)$$:

   $$4=2\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)+C,$$

   $$4=-\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+C,$$

   $$C=4+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=2x+\tg x+4+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

4. $$y=\ctg^2 x-9=\ctg^2 x+1-10=\frac{1}{\sin^2 x}-10.$$

   Тогда

   $$F(x)=-\ctg x-10x+C.$$

   Используем точку $$M\left(-\frac{\pi}{3};-21\right)$$:

   $$-21=-\ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right)-10\left(-\frac{\pi}{3}\right)+C,$$

   $$-21=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{10\pi}{3}+C,$$

   $$C=-21+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{10\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\ctg x-10x-21+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{10\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$F(x)=\tg x+5-\sqrt{3};$$
б) $$F(x)=-2\ctg x-1;$$
в) $$F(x)=2x+\tg x+4+\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3};$$
г) $$F(x)=-\ctg x-10x-21+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{10\pi}{3}.$$