Упр.20.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем формулы преобразования тригонометрических выражений и находим первообразную вида $$F(x)=\int y\,dx + C.$$

а)

$$y=8\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=4\sin x.$$

Тогда

$$F(x)=\int 4\sin x\,dx=-4\cos x+C.$$

Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};3\right):$$

$$3=-4\cos \frac{\pi}{2}+C,$$

$$3=0+C,$$

$$C=3.$$

Следовательно,

$$F(x)=-4\cos x+3.$$

б)

$$y=2\cos^2 \frac{x}{2}-1=2\cdot \frac{1+\cos x}{2}-1=\cos x.$$

Тогда

$$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};16\right):$$

$$16=\sin \frac{\pi}{2}+C,$$

$$16=1+C,$$

$$C=15.$$

Следовательно,

$$F(x)=\sin x+15.$$

в)

$$y=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}=\cos x.$$

Тогда

$$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

Подставим точку $$M(0;7):$$

$$7=\sin 0+C,$$

$$7=0+C,$$

$$C=7.$$

Следовательно,

$$F(x)=\sin x+7.$$

г)

$$y=1-2\sin^2 \frac{x}{2}=1-2\cdot \frac{1-\cos x}{2}=\cos x.$$

Тогда

$$F(x)=\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$

Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};15\right):$$

$$15=\sin \frac{\pi}{2}+C,$$

$$15=1+C,$$

$$C=14.$$

Следовательно,

$$F(x)=\sin x+14.$$

Ответ

а) $$F(x)=-4\cos x+3$$; б) $$F(x)=\sin x+15$$; в) $$F(x)=\sin x+7$$; г) $$F(x)=\sin x+14$$.