Упр.20.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём первообразную для каждой функции и подберём постоянную $$C$$ из условия прохождения графика через точку $$M(x_0;y_0)$$.

1. $$y=\sin x,\quad M\left(\frac{\pi}{3};\frac14\right).$$

   Все первообразные:

   $$F(x)=-\cos x+C.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$\frac14=-\cos\frac{\pi}{3}+C=-\frac12+C,$$

   $$C=\frac34.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\cos x+\frac34.$$

2. $$y=\frac{5}{\cos^2 5x},\quad M\left(\frac{\pi}{4};-1\right).$$

   Все первообразные:

   $$F(x)=\tg 5x+C.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$-1=\tg\frac{5\pi}{4}+C=1+C,$$

   $$C=-2.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\tg 5x-2.$$

3. $$y=\cos x,\quad M\left(\frac{\pi}{6};1\right).$$

   Все первообразные:

   $$F(x)=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$1=\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac12+C,$$

   $$C=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\sin x+\frac12.$$

4. $$y=\frac{1}{\sin^2\frac{x}{3}},\quad M\left(\frac{3\pi}{4};0\right).$$

   Все первообразные:

   $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+C.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$0=-3\ctg\frac{3\pi}{4\cdot 3}+C=-3\ctg\frac{\pi}{4}+C=-3+C,$$

   $$C=3.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3.$$

Ответ: а) $$F(x)=-\cos x+\frac34$$; б) $$F(x)=\tg 5x-2$$; в) $$F(x)=\sin x+\frac12$$; г) $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3$$.