Упр.20.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=3x^2-4x$$, $$M(2;19)$$; б) $$y=\frac{3}{x^2}+1$$, $$M(-0{,}5;-3)$$; в) $$y=4x^3+3x^2$$, $$M(1;-12)$$; г) $$y=2x-\frac{5}{x^2}$$, $$M\left(\frac{1}{4};7\right)$$.

Найдём первообразную для каждой функции и подберём постоянную $$C$$ из условия прохождения графика через точку $$M$$.

1. $$y=3x^2-4x,\quad M(2;19)$$

   $$F(x)=\int (3x^2-4x)\,dx=x^3-2x^2+C$$

   Подставим точку $$M(2;19)$$:

   $$19=2^3-2\cdot 2^2+C$$

   $$19=8-8+C$$

   $$C=19$$

   $$F(x)=x^3-2x^2+19$$

2. $$y=\frac{3}{x^2}+1,\quad M(-0{,}5;-3)$$

   $$F(x)=\int \left(\frac{3}{x^2}+1\right)\,dx=\int (3x^{-2}+1)\,dx=-\frac{3}{x}+x+C$$

   Подставим точку $$M(-0{,}5;-3)$$:

   $$-3=-\frac{3}{-0{,}5}-0{,}5+C$$

   $$-3=6-0{,}5+C$$

   $$C=-8{,}5$$

   $$F(x)=x-\frac{3}{x}-8{,}5$$

3. $$y=4x^3+3x^2,\quad M(1;-12)$$

   $$F(x)=\int (4x^3+3x^2)\,dx=x^4+x^3+C$$

   Подставим точку $$M(1;-12)$$:

   $$-12=1^4+1^3+C$$

   $$-12=1+1+C$$

   $$C=-14$$

   $$F(x)=x^4+x^3-14$$

4. $$y=2x-\frac{5}{x^2},\quad M\left(\frac14;7\right)$$

   $$F(x)=\int \left(2x-\frac{5}{x^2}\right)\,dx=x^2+\frac{5}{x}+C$$

   Подставим точку $$M\left(\frac14;7\right)$$:

   $$7=\left(\frac14\right)^2+\frac{5}{1/4}+C$$

   $$7=\frac{1}{16}+20+C$$

   $$C=-13\frac{1}{16}$$

   $$F(x)=x^2+\frac{5}{x}-13\frac{1}{16}$$

Ответ

а) $$F(x)=x^3-2x^2+19$$;
б) $$F(x)=x-\frac{3}{x}-8{,}5$$;
в) $$F(x)=x^4+x^3-14$$;
г) $$F(x)=x^2+\frac{5}{x}-13\frac{1}{16}$$.