Упр.20.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$F(x)=-\frac{3}{x}+\frac{x^3}{3}, \qquad f(x)=\frac{3}{x^2}+x^2.$$

Найдём производную:

$$F'(x)=\left(-\frac{3}{x}\right)’+\left(\frac{x^3}{3}\right)’=\frac{3}{x^2}+x^2=f(x).$$

Значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

б) $$F(x)=\frac{4x^5-3x^4+x^3-1}{2x}, \qquad f(x)=8x^3-4{,}5x^2+x+\frac{1}{2x^2}.$$

Упростим функцию:

$$F(x)=2x^4-\frac{3}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2x}.$$

Тогда

$$F'(x)=8x^3-\frac{9}{2}x^2+x+\frac{1}{2x^2}=8x^3-4{,}5x^2+x+\frac{1}{2x^2}=f(x).$$

Следовательно, $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)$$.

в) $$F(x)=\frac{5}{x}-\frac{x^5}{5}, \qquad f(x)=-\frac{5}{x^2}-x^4.$$

Находим производную:

$$F'(x)=\left(\frac{5}{x}\right)’-\left(\frac{x^5}{5}\right)’=-\frac{5}{x^2}-x^4=f(x).$$

Значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

г) $$F(x)=\frac{5x^7-4x^5+2x}{x^2}, \qquad f(x)=25x^4-12x^2-\frac{2}{x^2}.$$

Упростим:

$$F(x)=5x^5-4x^3+\frac{2}{x}.$$

Тогда

$$F'(x)=25x^4-12x^2-\frac{2}{x^2}=f(x).$$

Следовательно, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$.

Ответ: во всех пунктах $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.