Упр.20.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите функцию $$y=f(x)$$, удовлетворяющую заданному условию (дифференциальному уравнению):
   а) $$y’=\frac{13}{x^2}+x$$;
   б) $$y’=-\frac{9}{x^2}+\sin x$$;
   в) $$y’=\frac{4}{x^2}-4x$$;
   г) $$y’=-\frac{5}{x^2}-\cos x$$.

Найдём функцию $$y=f(x)$$, интегрируя заданную производную.

1. $$y’=\frac{13}{x^2}+x=13x^{-2}+x$$
   
   $$y=\int \left(13x^{-2}+x\right)\,dx=13\int x^{-2}\,dx+\int x\,dx$$
   
   $$y=13\cdot\frac{x^{-1}}{-1}+\frac{x^2}{2}+C=-\frac{13}{x}+\frac{x^2}{2}+C$$
2. $$y’=-\frac{9}{x^2}+\sin x=-9x^{-2}+\sin x$$
   
   $$y=\int \left(-9x^{-2}+\sin x\right)\,dx=-9\int x^{-2}\,dx+\int \sin x\,dx$$
   
   $$y=-9\cdot\frac{x^{-1}}{-1}-\cos x+C=\frac{9}{x}-\cos x+C$$
3. $$y’=\frac{4}{x^2}-4x=4x^{-2}-4x$$
   
   $$y=\int \left(4x^{-2}-4x\right)\,dx=4\int x^{-2}\,dx-4\int x\,dx$$
   
   $$y=4\cdot\frac{x^{-1}}{-1}-4\cdot\frac{x^2}{2}+C=-\frac{4}{x}-2x^2+C$$
4. $$y’=-\frac{5}{x^2}-\cos x=-5x^{-2}-\cos x$$
   
   $$y=\int \left(-5x^{-2}-\cos x\right)\,dx=-5\int x^{-2}\,dx-\int \cos x\,dx$$
   
   $$y=-5\cdot\frac{x^{-1}}{-1}-\sin x+C=\frac{5}{x}-\sin x+C$$

Ответ: а) $$y=-\frac{13}{x}+\frac{x^2}{2}+C$$; б) $$y=\frac{9}{x}-\cos x+C$$; в) $$y=-\frac{4}{x}-2x^2+C$$; г) $$y=\frac{5}{x}-\sin x+C$$.