Упр.20.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\sin x\cos 6x+\cos x\sin 6x$$;

б) $$f(x)=\sin^2(5x)$$;

в) $$f(x)=\cos 6x\cos x+\sin 6x\sin x$$;

г) $$f(x)=\sin 5x\cos x$$.

Используем формулы приведения и формулы суммы тригонометрических функций.

1. $$f(x)=\sin x\cos 6x+\cos x\sin 6x=\sin(x+6x)=\sin 7x.$$
   Тогда первообразная:
   $$F(x)=\int \sin 7x\,dx=-\frac{1}{7}\cos 7x+C.$$
2. $$f(x)=\sin^2 5x=\frac{1-\cos 10x}{2}=\frac12-\frac12\cos 10x.$$
   Тогда
   $$F(x)=\int \left(\frac12-\frac12\cos 10x\right)dx=\frac12x-\frac{1}{20}\sin 10x+C.$$
3. $$f(x)=\cos 6x\cos x+\sin 6x\sin x=\cos(6x-x)=\cos 5x.$$
   Тогда
   $$F(x)=\int \cos 5x\,dx=\frac15\sin 5x+C.$$
4. $$f(x)=\sin 5x\cos x=\frac12\bigl(\sin(5x-x)+\sin(5x+x)\bigr)=\frac12\sin 4x+\frac12\sin 6x.$$
   Тогда
   $$F(x)=\int \left(\frac12\sin 4x+\frac12\sin 6x\right)dx=-\frac18\cos 4x-\frac1{12}\cos 6x+C.$$

Ответ:

а) $$F(x)=-\frac17\cos 7x+C;$$
б) $$F(x)=\frac12x-\frac1{20}\sin 10x+C;$$
в) $$F(x)=\frac15\sin 5x+C;$$
г) $$F(x)=-\frac18\cos 4x-\frac1{12}\cos 6x+C.$$