Упр.20.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\sin 2x+\cos 2x$$; в) $$f(x)=\sin x\cos x$$; б) $$f(x)=1+\operatorname{tg}2x$$; г) $$f(x)=2+\operatorname{ctg}2(2x)$$.

Найдём первообразные для каждой функции.

1. $$f(x)=\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$
   Тогда
   $$F(x)=\int 1\,dx=x+C.$$
2. $$f(x)=1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
   Следовательно,
   $$F(x)=\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x+C.$$
3. $$f(x)=\sin x\cos x=\frac12\sin 2x.$$
   Тогда
   $$F(x)=\int \frac12\sin 2x\,dx=-\frac14\cos 2x+C.$$
4. $$f(x)=2+\ctg^2 2x=1+\frac{1}{\sin^2 2x}.$$
   Поэтому
   $$F(x)=\int \left(1+\frac{1}{\sin^2 2x}\right)dx=x-\frac12\ctg 2x+C.$$

Ответ: а) $$F(x)=x+C$$; б) $$F(x)=\tg x+C$$; в) $$F(x)=-\frac14\cos 2x+C$$; г) $$F(x)=x-\frac12\ctg 2x+C$$.