Упр.20.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{7x-9}}$$; б) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{42-3x}}$$.

Используем формулу первообразной:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1.$$

1. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{7x-9}}=(7x-9)^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int (7x-9)^{-\frac12}\,dx.$$

   Положим $$u=7x-9,$$ тогда $$du=7\,dx,\quad dx=\frac{du}{7}.$$

   Получаем:

   $$F(x)=\frac17\int u^{-\frac12}\,du=\frac17\cdot \frac{u^{\frac12}}{\frac12}+C=\frac{2}{7}\sqrt{u}+C.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{2\sqrt{7x-9}}{7}+C.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{42-3x}}=(42-3x)^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int (42-3x)^{-\frac12}\,dx.$$

   Положим $$u=42-3x,$$ тогда $$du=-3\,dx,\quad dx=-\frac{du}{3}.$$

   Получаем:

   $$F(x)=-\frac13\int u^{-\frac12}\,du=-\frac13\cdot \frac{u^{\frac12}}{\frac12}+C=-\frac23\sqrt{u}+C.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\frac{2\sqrt{42-3x}}{3}+C.$$

Ответ: $$F(x)=\frac{2\sqrt{7x-9}}{7}+C,\qquad F(x)=-\frac{2\sqrt{42-3x}}{3}+C.$$