Упр.20.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)$$;

б) $$f(x)=\ln 2-(2-5x)$$;

в) $$f(x)=\cos(4x-3)$$;

г) $$f(x)=2\left(3-\frac{\pi}{2}\right)$$.

Найдём первообразные по формуле:

$$\int \sin(kx+b)\,dx=-\frac{1}{k}\cos(kx+b)+C,$$

$$\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C,$$

$$\int \cos(kx+b)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx+b)+C,$$

$$\int a^{kx+b}\,dx=\frac{a^{kx+b}}{k\ln a}+C.$$

1. $$f(x)=\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда

   $$F(x)=-\frac{1}{3}\cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)+C.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{2-5x}.$$

   Положим $$u=2-5x,$$ тогда $$du=-5\,dx,$$ и

   $$F(x)=\int \frac{dx}{2-5x}=-\frac{1}{5}\ln|2-5x|+C.$$

3. $$f(x)=\cos(4x-3).$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{1}{4}\sin(4x-3)+C.$$

4. $$f(x)=2^{\,3-\frac{x}{2}}.$$

   Используем формулу для показательной функции:

   $$F(x)=\frac{2^{\,3-\frac{x}{2}}}{-\frac{1}{2}\ln 2}+C=-\frac{2\cdot 2^{\,3-\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C=-\frac{2^{\,4-\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C.$$

Ответ:

$$F(x)=-\frac{1}{3}\cos\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)+C,$$

$$F(x)=-\frac{1}{5}\ln|2-5x|+C,$$

$$F(x)=\frac{1}{4}\sin(4x-3)+C,$$

$$F(x)=-\frac{2^{\,4-\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C.$$