Упр.20.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

20. Для функции $$y=f(x)$$ найдите первообразную:
    а) $$f(x)=x^2+x^{16}$$;
    б) $$f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}$$;
    в) $$f(x)=x^{13}+x^{18}$$;
    г) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt[4]{x}}-\frac{2}{x\sqrt{x}}$$.

Используем правило: если $$f(x)=x^n,$$ то первообразная имеет вид $$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\ne -1).$$

1. $$f(x)=x^2+x^{16}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^{17}}{17}+C.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{2\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{x^2}=\frac12 x^{-\frac13}-x^{-2}.$$

   Интегрируем по частям:

   $$F(x)=\frac12\cdot \frac{x^{\frac23}}{\frac23}-\frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac34x^{\frac23}+\frac1x+C=\frac34\sqrt[3]{x^2}+\frac1x+C.$$

3. $$f(x)=x^{13}+x^{18}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{x^{14}}{14}+\frac{x^{19}}{19}+C.$$

4. $$f(x)=\frac{4}{\sqrt[4]{x}}-\frac{2}{x\sqrt{x}}=4x^{-\frac14}-2x^{-\frac32}.$$

   Находим первообразную:

   $$F(x)=4\cdot \frac{x^{\frac34}}{\frac34}-2\cdot \frac{x^{-\frac12}}{-\frac12}+C=\frac{16}{3}x^{\frac34}+4x^{-\frac12}+C=\frac{16}{3}\sqrt[4]{x^3}+\frac{4}{\sqrt{x}}+C.$$

Ответ

а) $$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^{17}}{17}+C;$$
б) $$F(x)=\frac34\sqrt[3]{x^2}+\frac1x+C;$$
в) $$F(x)=\frac{x^{14}}{14}+\frac{x^{19}}{19}+C;$$
г) $$F(x)=\frac{16}{3}\sqrt[4]{x^3}+\frac{4}{\sqrt{x}}+C.$$