Упр.20.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для функции $$y=f(x)$$ найдите первообразную: а) $$f(x)=-\frac{1}{x^2}$$; в) $$f(x)=\frac{7}{x^2}$$; б) $$f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}$$; г) $$f(x)=\frac{6}{\sqrt{x}}$$.

Используем правило:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne -1.$$

1. $$f(x)=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int -x^{-2}\,dx=-\frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac{1}{x}+C.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac12 x^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \frac12 x^{-\frac12}\,dx=\frac12\cdot \frac{x^{\frac12}}{\frac12}+C=\sqrt{x}+C.$$

3. $$f(x)=\frac{7}{x^2}=7x^{-2}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int 7x^{-2}\,dx=7\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{7}{x}+C.$$

4. $$f(x)=\frac{6}{\sqrt{x}}=6x^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\int 6x^{-\frac12}\,dx=6\cdot \frac{x^{\frac12}}{\frac12}+C=12\sqrt{x}+C.$$

Ответ: а) $$F(x)=\frac{1}{x}+C$$; б) $$F(x)=\sqrt{x}+C$$; в) $$F(x)=-\frac{7}{x}+C$$; г) $$F(x)=12\sqrt{x}+C$$.