Упр.20.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 20.1. Докажите, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$:
   
   а) $$F(x)=x^2+x^3+3\sin x+1,\quad f(x)=2x+3x^2+3\cos x;$$
   
   б) $$F(x)=x^{11}+x^4-3-4\cos x,\quad f(x)=11x^{10}+4x^3+4\sin x;$$
   
   в) $$F(x)=7\sqrt[7]{x}+\frac{2}{\sqrt{x}},\quad f(x)=\frac{\sqrt[14]{x^9}-1}{x\sqrt{x}};$$
   
   г) $$F(x)=e^{x^2-3x},\quad f(x)=(2x-3)e^{x^2-3x}.$$

Найдём производную функции $$F(x)$$ и сравним её с $$f(x)$$.

1. $$F(x)=x^2+x^3+3\sin x+1$$

   $$F'(x)=(x^2)’+(x^3)’+(3\sin x)’+(1)’=2x+3x^2+3\cos x=f(x).$$

2. $$F(x)=x^{11}+x^4-3-4\cos x$$

   $$F'(x)=(x^{11})’+(x^4)’+(-3)’+(-4\cos x)’=11x^{10}+4x^3+4\sin x=f(x).$$

3. $$F(x)=7\sqrt[7]{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$$

   Представим в виде степеней:

   $$F(x)=7x^{\frac17}+2x^{-\frac12}.$$

   Тогда

   $$F'(x)=7\cdot \frac17 x^{-\frac67}+2\cdot\left(-\frac12\right)x^{-\frac32}=x^{-\frac67}-x^{-\frac32}.$$

   Преобразуем:

   $$x^{-\frac67}-x^{-\frac32}=\frac{1}{\sqrt[7]{x^6}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{\sqrt[14]{x^9}-1}{x\sqrt{x}}=f(x).$$

4. $$F(x)=e^{x^2-3x}$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$F'(x)=e^{x^2-3x}\cdot (x^2-3x)’=e^{x^2-3x}(2x-3)=f(x).$$

Следовательно, во всех пунктах функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$.