Упр.2.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что многочлен:
   а) $$x^7 — 3x^3y^4 + 6xy^6 — 4y^7$$ делится без остатка на многочлен $$x-y$$;
   б) $$x^{13} + 7x^{10}y^3 — 11x^3y^{10} — 17y^{13}$$ делится без остатка на многочлен $$x+y$$.

Проверим делимость по теореме Безу: многочлен делится на $$x-y$$, если при $$x=y$$ он обращается в нуль; многочлен делится на $$x+y$$, если при $$x=-y$$ он обращается в нуль.

Решение

а) Рассмотрим многочлен

$$p(x,y)=x^7-3x^3y^4+6xy^6-4y^7.$$

Подставим $$x=y$$:

$$p(y,y)=y^7-3y^3\cdot y^4+6y\cdot y^6-4y^7.$$

Упростим:

$$p(y,y)=y^7-3y^7+6y^7-4y^7=0.$$

Значит, $$x-y$$ является делителем данного многочлена.

б) Рассмотрим многочлен

$$p(x,y)=x^{13}+7x^{10}y^3-11x^3y^{10}-17y^{13}.$$

Подставим $$x=-y$$:

$$p(-y,y)=(-y)^{13}+7(-y)^{10}y^3-11(-y)^3y^{10}-17y^{13}.$$

Так как $$(-y)^{13}=-y^{13}$$, $$(-y)^{10}=y^{10}$$, $$(-y)^3=-y^3$$, получаем:

$$p(-y,y)=-y^{13}+7y^{10}y^3+11y^3y^{10}-17y^{13}.$$

Тогда

$$p(-y,y)=-y^{13}+7y^{13}+11y^{13}-17y^{13}=0.$$

Следовательно, $$x+y$$ является делителем данного многочлена.

Ответ

а) $$x^7-3x^3y^4+6xy^6-4y^7$$ делится на $$x-y$$;
б) $$x^{13}+7x^{10}y^3-11x^3y^{10}-17y^{13}$$ делится на $$x+y$$.