Упр.2.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что многочлен $$\left(y^2-z^2\right)x+\left(z^2-x^2\right)y+\left(x^2-y^2\right)z$$ не обращается в нуль ни при каких попарно различных значениях переменных $$x$$, $$y$$, $$z$$.

б) Многочлен $$x^3+px+q$$ обращается в нуль при $$x=a$$, при $$x=B$$ и при $$x=y$$. Докажите, что $$a+B+y=0$$.

а) Преобразуем многочлен:

$$(y^2-z^2)x+(z^2-x^2)y+(x^2-y^2)z$$

$$=xy^2-xz^2+yz^2-yx^2+zx^2-zy^2$$

$$=xy(y-z)+xz(z-y)+yz(x-z)$$

$$=(y-z)(xy+xz-x^2-yz)$$

$$=(y-z)\bigl(x(y-z)-z(y-z)\bigr)$$

$$=(y-z)(x-z)(y-x).$$

Так как $$x,\ y,\ z$$ попарно различны, то каждый из множителей $$y-z$$, $$x-z$$, $$y-x$$ не равен нулю. Значит, весь многочлен не обращается в нуль.

б) Так как многочлен $$x^3+px+q$$ обращается в нуль при $$x=\alpha,\ x=\beta,\ x=\gamma$$, то его можно представить в виде

$$x^3+px+q=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma).$$

Раскроем скобки:

$$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$

$$=(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta)(x-\gamma)$$

$$=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma.$$

Сравнивая с $$x^3+px+q$$, получаем, что коэффициент при $$x^2$$ равен нулю:

$$-(\alpha+\beta+\gamma)=0.$$

Следовательно,

$$\alpha+\beta+\gamma=0.$$

Ответ: а) $$(y-z)(x-z)(y-x) \neq 0$$ при попарно различных $$x,y,z$$; б) $$\alpha+\beta+\gamma=0$$.