Упр.2.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$$; б) $$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$$; в) $$x(y+z)^2+y(z+x)^2+z(x+y)^2-4xyz$$; г) $$(x+y+z)^4-(y+z)^4-(z+x)^4-(x+y)^4+x^4+y^4+z^4$$.

Подробный ответ

а) $$\begin{aligned} (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3&=((x+y+z)^3-x^3)-(y^3+z^3)\\ &=(y+z)\bigl((x+y+z)^2+x(x+y+z)+x^2\bigr)\\ &\quad-(y+z)(y^2-yz+z^2)\\ &=(y+z)\bigl(3x^2+3xy+3xz+3yz\bigr)\\ &=3(y+z)\bigl(x(x+y)+z(x+y)\bigr)\\ &=3(y+z)(x+z)(x+y). \end{aligned}$$

б) $$\begin{aligned} (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz&=x^2y+xyz+x^2z+xy^2+y^2z+xyz+xyz+yz^2+xz^2-xyz\\ &=x(y^2+2yz+z^2)+x^2(y+z)+yz(y+z)\\ &=(y+z)\bigl(x(y+z)+x^2+yz\bigr)\\ &=(y+z)(x+y)(x+z). \end{aligned}$$

в) $$\begin{aligned} x(y+z)^2+y(z+x)^2+z(x+y)^2-4xyz &=x(y^2+2yz+z^2)+y(z^2+2zx+x^2)\\ &\quad+z(x^2+2xy+y^2)-4xyz\\ &=x(y+z)^2+y z(y+z)+x^2(y+z)\\ &=(y+z)\bigl(x(y+z)+yz+x^2\bigr)\\ &=(y+z)(x+y)(x+z). \end{aligned}$$

г) $$\begin{aligned} &(x+y+z)^4-(y+z)^4-(z+x)^4-(x+y)^4+x^4+y^4+z^4\\ &=\bigl((x+y+z)^4-(y+z)^4\bigr)-\bigl((z+x)^4-(z)^4\bigr)-\bigl((x+y)^4-x^4\bigr)+y^4+z^4 \end{aligned}$$

Удобнее раскрыть по формуле бинома Ньютона и сократить одинаковые слагаемые. После приведения подобных получаем:

$$12x^2yz+12xy^2z+12xyz^2=12xyz(x+y+z).$$

Следовательно,

$$(x+y+z)^4-(y+z)^4-(z+x)^4-(x+y)^4+x^4+y^4+z^4=12xyz(x+y+z).$$