Упр.2.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$(x^7+x)-(y^7+y)$$; в) $$(x^5-x)-(y^5-y)$$; б) $$x^4+4y^4$$; г) $$16x^4+y^4$$.
Разложим многочлены на множители, используя вынесение общего множителя и формулы разности квадратов и разности степеней:
$$(x^7+x)-(y^7+y)=(x^7-y^7)+(x-y)$$
$$=(x-y)(x^6+x^5y+x^4y^2+x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6)+(x-y)$$
$$=(x-y)\bigl(x^6+x^5y+x^4y^2+x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6+1\bigr)$$
$$x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2$$
$$=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2$$
$$=(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)$$
$$(x^5-x)-(y^5-y)=(x^5-y^5)-(x-y)$$
$$=(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)-(x-y)$$
$$=(x-y)\bigl(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4-1\bigr)$$
$$16x^4+y^4=16x^4+8x^2y^2+y^4-8x^2y^2$$
$$=(4x^2+y^2)^2-(2\sqrt{2}xy)^2$$
$$=(4x^2+y^2-2\sqrt{2}xy)(4x^2+y^2+2\sqrt{2}xy)$$
Ответ:
$$\begin{aligned} &\text{а) }(x-y)\bigl(x^6+x^5y+x^4y^2+x^3y^3+x^2y^4+xy^5+y^6+1\bigr);\\ &\text{б) }(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy);\\ &\text{в) }(x-y)\bigl(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4-1\bigr);\\ &\text{г) }(4x^2+y^2-2\sqrt{2}xy)(4x^2+y^2+2\sqrt{2}xy). \end{aligned}$$
