Упр.2.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Докажите, что многочлен принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных:
а) $$3x^2-11xy+47y^2+2$$;
б) $$(2x+3y+5)^2+(x+2y+3)^2+(3x-7y+1)^4$$;
в) $$3x^2-2xy+y^2-6x-2y+11$$;
г) $$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3$$.
а) $$3x^2-11xy+47y^2+2=3\left(x^2-\frac{11}{3}xy+\frac{47}{3}y^2\right)+2.$$
Допишем до квадрата:
$$3x^2-11xy+47y^2+2=3\left(x-\frac{11}{6}y\right)^2+\frac{443}{12}y^2+2.$$
Так как $$3\left(x-\frac{11}{6}y\right)^2\ge 0,$$ $$\frac{443}{12}y^2\ge 0,$$ то
$$3x^2-11xy+47y^2+2\ge 2>0.$$
б) $$\left(2x+3y+5\right)^2+\left(x+2y+3\right)^2+\left(3x-7y+1\right)^4\ge 0.$$
Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:
$$\begin{cases} 2x+3y+5=0,\\ x+2y+3=0,\\ 3x-7y+1=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=-2y-3.$$ Подставим в первое:
$$2(-2y-3)+3y+5=0,$$
$$-4y-6+3y+5=0,$$
$$y=-1,$$
$$x=-2(-1)-3=-1.$$
Проверим третье уравнение:
$$3(-1)-7(-1)+1=5\ne 0.$$
Значит, одновременно все три выражения равными нулю быть не могут, поэтому
$$\left(2x+3y+5\right)^2+\left(x+2y+3\right)^2+\left(3x-7y+1\right)^4>0.$$
в) $$3x^2-2xy+y^2-6x-2y+11.$$
Преобразуем:
$$\begin{aligned} 3x^2-2xy+y^2-6x-2y+11 &=\frac12\left(6x^2-4xy+2y^2-12x-4y+22\right)\\ &=\frac12\left((4x^2-4xy+y^2)+(y^2-4y+4)+2(x^2-6x+9)\right)\\ &=\frac12\left((2x-y)^2+(y-2)^2+2(x-3)^2\right)\ge 0. \end{aligned}$$
Равенство нулю возможно только при
$$\begin{cases} 2x-y=0,\\ y-2=0,\\ x-3=0. \end{cases}$$
Из второго и третьего уравнений получаем $$y=2,$$ $$x=3,$$ но тогда $$2x-y=6-2=4\ne 0.$$ Следовательно, выражение не обращается в нуль и потому
$$3x^2-2xy+y^2-6x-2y+11>0.$$
г) $$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3=(x+y+z)^2+3.$$
Так как $$\left(x+y+z\right)^2\ge 0,$$ то
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3\ge 3>0.$$
Ответ: во всех пунктах многочлены принимают положительные значения при любых действительных значениях переменных.
