Упр.2.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наименьшее значение выражения $$f(x; y)$$ при заданном дополнительном условии:

а) $$f(x; y)=x^2+4y^2-4xy+3x-y+6,\quad x+y=1$$;

б) $$f(x; y)=2x^2+y^2-4xy+3x-y+6,\quad x-2y=4$$.

а) Из условия $$x+y=1$$ получаем $$y=1-x.$$ Подставим в выражение:

$$f(x)=x^2+4(1-x)^2-4x(1-x)+3x-(1-x)+6.$$

Упростим:

$$f(x)=x^2+4-8x+4x^2-4x+4x^2+3x-1+x+6=9x^2-8x+9.$$

Это квадратный трёхчлен, его наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 9}=\frac49.$$

Тогда

$$f_{\min}=f\!\left(\frac49\right)=9\left(\frac49\right)^2-8\cdot\frac49+9 =\frac{16}{9}-\frac{32}{9}+9=\frac{65}{9}=7\frac29.$$

б) Из условия $$x-2y=4$$ получаем $$x=4+2y.$$ Подставим в выражение:

$$f(y)=2(4+2y)^2+y^2-4y(4+2y)+3(4+2y)-y+6.$$

Упростим:

$$f(y)=2(16+16y+4y^2)+y^2-16y-8y^2+12+6y-y+6 = y^2+21y+50.$$

Минимум квадратного трёхчлена достигается в вершине:

$$y_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{21}{2}.$$

Тогда

$$f_{\min}=f\!\left(-\frac{21}{2}\right)=\left(-\frac{21}{2}\right)^2+21\left(-\frac{21}{2}\right)+50 =\frac{441}{4}-\frac{882}{4}+\frac{200}{4} =-\frac{241}{4}=-60\frac14.$$

Ответ

а) $$7\frac29$$; б) $$-60\frac14$$.