Упр.2.30 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

30. а) Решите систему $$\begin{cases}x^2y-4y^3=0,\\x+2y^2=12;\end{cases}$$
    б) Решите систему $$\begin{cases}x^3+3x^2y=xy^2+3y^3,\\x^2+xy=50.\end{cases}$$

а) Из первого уравнения вынесем общий множитель:

$$x^2y-4y^3=y(x^2-4y^2)=y(x-2y)(x+2y)=0.$$

Значит, возможны случаи:

1. $$y=0.$$ Тогда из $$x+2y^2=12$$ получаем $$x=12.$$
2. $$x=2y.$$ Тогда $$2y+2y^2=12,$$ то есть $$y^2+y-6=0,$$ откуда $$y=-3$$ или $$y=2.$$
3. $$x=-2y.$$ Тогда $$-2y+2y^2=12,$$ то есть $$y^2-y-6=0,$$ откуда $$y=-2$$ или $$y=3.$$

Находим соответствующие значения $$x$$:

при $$y=-3$$ имеем $$x=-6$$; при $$y=2$$ имеем $$x=4$$; при $$y=-2$$ имеем $$x=4$$; при $$y=3$$ имеем $$x=-6$$.

Следовательно, решения системы:

$$(12;0),\;(-6;-3),\;(4;2),\;(4;-2),\;(-6;3).$$

б) Преобразуем первое уравнение:

$$x^3+3x^2y-xy^2-3y^3=0.$$

Сгруппируем:

$$x^2(x+3y)-y^2(x+3y)=0,$$

$$(x^2-y^2)(x+3y)=0,$$

$$(x-y)(x+y)(x+3y)=0.$$

Значит, возможны случаи:

1. $$x=y.$$ Тогда из $$x^2+xy=50$$ получаем $$2x^2=50,$$ значит $$x=\pm 5,$$ и $$y=\pm 5.$$
2. $$x=-y.$$ Тогда $$x^2+xy=0,$$ что невозможно, так как по условию $$x^2+xy=50.$$ Этот случай не подходит.
3. $$x=-3y.$$ Тогда $$x^2+xy=9y^2-3y^2=6y^2=50,$$ откуда $$y^2=\frac{25}{3},$$ значит $$y=\pm \frac{5}{\sqrt3}=\pm \frac{5\sqrt3}{3}.$$

Тогда соответствующие значения $$x$$:

при $$y=\frac{5\sqrt3}{3}$$ имеем $$x=-5\sqrt3$$; при $$y=-\frac{5\sqrt3}{3}$$ имеем $$x=5\sqrt3.$$

Итак, решения системы:

$$(5;5),\;(-5;-5),\;(-5\sqrt3;\frac{5\sqrt3}{3}),\;(5\sqrt3;-\frac{5\sqrt3}{3}).$$