Упр.2.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наибольшее значение выражения:

а) $$-x^2-40y^2+10xy+3$$;

б) $$-x^2-4xy-10y^2+14y+12$$.

а) $$-x^2-40y^2+10xy+3=-\bigl(x^2-10xy+25y^2\bigr)-15y^2+3=-\bigl(x-5y\bigr)^2-15y^2+3.$$

Так как $$\bigl(x-5y\bigr)^2\ge 0,\qquad 15y^2\ge 0,$$ то

$$-\bigl(x-5y\bigr)^2-15y^2+3\le 3.$$

Равенство достигается при $$x-5y=0,\ y=0,$$ то есть при $$x=0,\ y=0.$$

Ответ: $$3.$$

б) $$-x^2-4xy-10y^2+14y+12=-\bigl(x^2+4xy+4y^2\bigr)-6y^2+14y+12=-\bigl(x+2y\bigr)^2-6y^2+14y+12.$$

Выделим полный квадрат по $$y$$:

$$-6y^2+14y=-6\left(y^2-\frac{7}{3}y\right)=-6\left(y-\frac{7}{6}\right)^2+\frac{49}{6}.$$

Тогда

$$-x^2-4xy-10y^2+14y+12=-\bigl(x+2y\bigr)^2-6\left(y-\frac{7}{6}\right)^2+\frac{49}{6}+12.$$

$$\frac{49}{6}+12=\frac{49}{6}+\frac{72}{6}=\frac{121}{6}.$$

Значит,

$$-x^2-4xy-10y^2+14y+12\le \frac{121}{6}.$$

Равенство достигается при

$$x+2y=0,\qquad y=\frac{7}{6}.$$

Следовательно, $$x=-\frac{7}{3}.$$

Ответ: $$\frac{121}{6}.$$