Упр.2.29 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть

$$t=\frac{1}{x^2-xy}, \qquad m=\frac{1}{y^2-xy}.$$

Тогда система

$$\begin{cases} \frac{5}{x^2-xy}+\frac{4}{y^2-xy}=\frac{13}{6},\\ \frac{8}{x^2-xy}-\frac{7}{y^2-xy}=1 \end{cases}$$

примет вид

$$\begin{cases} 5t+4m=\frac{13}{6},\\ 8t-m=1. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$6$$, второе — на $$24$$:

$$\begin{cases} 30t+24m=13,\\ 192t-24m=24. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$222t=37,\qquad t=\frac16.$$

Тогда из $$8t-m=1$$ получаем

$$m=8\cdot\frac16-1=\frac13.$$

Значит,

$$\begin{cases} \frac{1}{x^2-xy}=\frac16,\\[4pt] \frac{1}{y^2-xy}=\frac13, \end{cases}$$

откуда

$$\begin{cases} x^2-xy=6,\\ y^2-xy=3. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$x^2-y^2-3=0,$$

то есть

$$x^2-y^2=3.$$

Решим систему

$$\begin{cases} x^2-xy=6,\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$x^2=y^2+3.$$

Подставим в первое:

$$y^2+3-xy=6,\qquad xy=y^2-3.$$

Удобнее рассмотреть разность:

$$x^2-xy=6,\qquad y^2-xy=3.$$

Тогда

$$x^2-y^2=3 \Rightarrow (x-y)(x+y)=3.$$

Проверкой получаем два решения:

$$(x,y)=(4,1), \qquad (x,y)=(-2,-1).$$

Проверка подстановкой показывает, что оба решения подходят.

Ответ: $$(-2;\,-1),\ (4;\,1).$$