Упр.2.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение выражения: а) $$x^2+4y^2-4xy+3$$; б) $$x^2+4xy+5y^2+2y+7$$.

а) $$x^2+4y^2-4xy+3=x^2-4xy+4y^2+3=(x-2y)^2+3.$$

Так как $$\left(x-2y\right)^2\ge 0,$$ то наименьшее значение выражения равно $$3$$.

б) $$x^2+4xy+5y^2+2y+7=(x^2+4xy+4y^2)+(y^2+2y+1)+6=(x+2y)^2+(y+1)^2+6.$$

Так как $$\left(x+2y\right)^2\ge 0$$ и $$\left(y+1\right)^2\ge 0,$$ то наименьшее значение выражения равно $$6$$.

Ответ: а) $$3$$; б) $$6$$.