Упр.2.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению: а) $$\left(x-y+1\right)^2+\left(x+2y-z\right)^2+5y^2=0$$; б) $$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0$$.

а) Так как сумма квадратов равна нулю, то каждый квадрат равен нулю:

$$\begin{cases} (x-y+1)^2=0,\\ (x+2y-z)^2=0,\\ 5y^2=0. \end{cases}$$

Из третьего уравнения получаем:

$$5y^2=0 \Rightarrow y=0.$$

Тогда из первого уравнения:

$$x-y+1=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$

Из второго уравнения:

$$x+2y-z=0 \Rightarrow -1+0-z=0 \Rightarrow z=-1.$$

Ответ: $$(-1;\,0;\,-1).$$

б) Преобразуем выражение:

$$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0$$

Умножим на $$2$$:

$$2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2zx+z^2)=0.$$

Тогда

$$(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0.$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$\begin{cases} x-y=0,\\ y-z=0,\\ x-z=0. \end{cases}$$

Следовательно,

$$x=y=z=t,\quad t\in \mathbb{R}.$$

Ответ: $$(t;\,t;\,t),\ t\in \mathbb{R}.$$