Упр.2.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$(x+2y)^2+2\left|x-y+3\right|=y-x-3$$; б) $$(5x-2y-7)^2+4\left|3x-2y-5\right|=3x-2y-5$$.

Положим $$t=3x-2y-5.$$ Тогда уравнение

$$\left(5x-2y-7\right)^2+4|3x-2y-5|=3x-2y-5$$

примет вид

$$\left(5x-2y-7\right)^2+4|t|=t.$$

Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$t\ge 0$$, и тогда $$|t|=t.$$ Получаем

$$\left(5x-2y-7\right)^2+4t=t,$$

то есть

$$\left(5x-2y-7\right)^2+3t=0.$$

Сумма неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$\begin{cases} 5x-2y-7=0,\\ 3x-2y-5=0. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$2x-2=0,$$

откуда $$x=1.$$ Подставим в $$3x-2y-5=0$$:

$$3\cdot 1-2y-5=0,$$

$$-2y=2,$$

$$y=-1.$$

Проверка: $$3\cdot 1-2\cdot(-1)-5=0,$$ условие $$t\ge 0$$ выполнено.

Ответ: $$(1;\,-1).$$