Упр.2.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$9x^2+12xy+5y^2-6y+9=0$$; б) $$26x^2+10y^2-30xy+6x+10y+34=0$$.

а) Преобразуем левую часть к сумме квадратов:

$$9x^2+12xy+5y^2-6y+9=0$$

$$\left(9x^2+12xy+4y^2\right)+\left(y^2-6y+9\right)=0$$

$$\left(3x+2y\right)^2+\left(y-3\right)^2=0$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$\begin{cases} 3x+2y=0,\\ y-3=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем $$y=3$$. Тогда

$$3x+2\cdot 3=0,$$

$$3x=-6,$$

$$x=-2.$$

Следовательно, $$(-2;3).$$

б) Аналогично:

$$26x^2+10y^2-30xy+6x+10y+34=0$$

$$\left(25x^2-30xy+9y^2\right)+\left(x^2+6x+9\right)+\left(y^2+10y+25\right)=0$$

$$\left(5x-3y\right)^2+\left(x+3\right)^2+\left(y+5\right)^2=0$$

Тогда

$$\begin{cases} 5x-3y=0,\\ x+3=0,\\ y+5=0. \end{cases}$$

Из второго и третьего уравнений: $$x=-3,$$ $$y=-5.$$ Проверим первое:

$$5\cdot(-3)-3\cdot(-5)=-15+15=0.$$

Значит, $$(-3;-5).$$

Ответ: а) $$(-2;3)$$; б) $$(-3;-5)$$.