Упр.2.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\left(x^2+3y^2-7\right)^2+\left(3-xy-y^2\right)^{\frac{1}{2}}=0$$
б) $$\left(5x+y-6\right)^2+\left(3x-y-2\right)^4=0$$
а) Так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, то каждое из них равно нулю:
$$\begin{cases} (x^2+3y^2-7)^2=0,\\ \sqrt{3-xy-y^2}=0. \end{cases}$$
Отсюда
$$\begin{cases} x^2+3y^2-7=0,\\ 3-xy-y^2=0. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$7$$:
$$\begin{cases} 3x^2+9y^2-21=0,\\ 21-7xy-7y^2=0. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$3x^2-7xy+2y^2=0.$$
Разложим на множители:
$$3x^2-7xy+2y^2=3x^2-6xy-xy+2y^2=(3x-y)(x-2y)=0.$$
Значит, либо $$3x-y=0,$$ либо $$x-2y=0.$$
1) Если $$y=3x,$$ то
$$x^2+3(3x)^2-7=0,$$
$$28x^2=7,\quad x^2=\frac14,\quad x=\pm\frac12.$$
Тогда $$y=\pm\frac32.$$
2) Если $$x=2y,$$ то
$$(2y)^2+3y^2-7=0,$$
$$7y^2=7,\quad y^2=1,\quad y=\pm1.$$
Тогда $$x=\pm2.$$
Итак, решения:
$$\left(-\frac12;-\frac32\right),\ \left(\frac12;\frac32\right),\ (-2;-1),\ (2;1).$$
б) Так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, то
$$\begin{cases} (5x+y-6)^2=0,\\ (3x-y-2)^4=0. \end{cases}$$
Следовательно,
$$\begin{cases} 5x+y-6=0,\\ 3x-y-2=0. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$8x-8=0,\quad x=1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5\cdot1+y-6=0,\quad y=1.$$
Итак,
$$(1;1).$$
Ответ: а) $$\left(-\frac12;-\frac32\right),\ \left(\frac12;\frac32\right),\ (-2;-1),\ (2;1)$$; б) $$(1;1).$$
