Упр.2.24 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите целочисленные решения системы уравнений:
$$\begin{cases} 2x^2+xy+9y^2=12,\\ |x+2y|+2x=5. \end{cases}$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 2x^2+xy+9y^2=12,\\ |x+2y|+2x=5. \end{cases}$$
Из второго уравнения получаем
$$|x+2y|=5-2x,$$
значит, обязательно $$5-2x\ge 0,$$ то есть $$x\le \frac52.$$
Теперь рассмотрим возможные целые значения $$y.$$ Из первого уравнения
$$2x^2+xy+9y^2=12$$
следует, что $$9y^2\le 12,$$ поэтому $$y\in\{-1,0,1\}.$$
Если $$y=-1,$$ то
$$2x^2-x+9=12,$$
$$2x^2-x-3=0,$$
$$x=\frac{1\pm 5}{4}.$$
Отсюда $$x=\frac32$$ или $$x=-1.$$
Проверим второе уравнение:
при $$x=\frac32$$ имеем $$|x+2y|+2x=\left|\frac32-2\right|+3=\frac12+3\ne 5,$$
при $$x=-1$$ имеем $$|x+2y|+2x=|-3|-2=1\ne 5.$$
Решений нет.
Если $$y=0,$$ то
$$2x^2=12,$$
$$x^2=6,$$
целых решений нет.
Если $$y=1,$$ то
$$2x^2+x+9=12,$$
$$2x^2+x-3=0,$$
$$x=\frac{-1\pm 5}{4}.$$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=-\frac32.$$
Проверим второе уравнение:
при $$x=1$$ имеем $$|1+2|+2=5,$$
при $$x=-\frac32$$ имеем $$\left|-\frac32+2\right|-3=\frac12-3\ne 5.$$
Подходит только $$x=1.$$
Следовательно, целочисленное решение системы одно:
$$\boxed{(1,1)}.$$
Ответ
$$\boxed{(1,1)}$$
