Упр.2.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ система имеет нечетное число решений:
   а) $$\begin{cases} x^2+xy+y^2=3a^2, \\ xy(x+y)=2; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} xy-3x-3y=-5, \\ x^2+y^2-5x-5y=a? \end{cases}$$

а) Рассмотрим симметрическую систему. Если у неё число решений нечётное, то обязательно существует решение вида $$x=y.$$

Положим $$x=y=t.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} t^2+t^2+t^2=3a^2,\\ t\cdot t\cdot (t+t)=2. \end{cases}$$

Получаем

$$\begin{cases} 3t^2=3a^2,\\ 2t^3=2. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} t^2=a^2,\\ t^3=1. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$t=1$$, тогда из первого $$a^2=1$$, то есть

$$a=\pm 1.$$

б) Аналогично, при нечётном числе решений у системы должен быть корень вида $$x=y.$$ Пусть $$x=y=t.$$ Тогда

$$\begin{cases} t^2-3t-3t=-5,\\ t^2+t^2-5t-5t=a. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} t^2-6t+5=0,\\ 2t^2-10t=a. \end{cases}$$

Решим первое уравнение:

$$D=36-20=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Следовательно, $$t_1=1$$ и $$t_2=5.$$

Тогда

$$a=2\cdot 1^2-10\cdot 1=-8,$$

$$a=2\cdot 5^2-10\cdot 5=0.$$

Ответ: а) $$-1,\ 1$$; б) $$-8,\ 0$$.