Упр.2.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) система $$\begin{cases}|x-y|+xy=x+y,\\x^2+y^2-x-y=2;\end{cases}$$ б) система $$\begin{cases}|x-y|+x+y=3xy,\\x^2+y^2-xy=3.\end{cases}$$
Обозначим $$u=x+y,\quad v=xy.$$ Тогда
$$|x-y|=\sqrt{(x+y)^2-4xy}=\sqrt{u^2-4v},\qquad x^2+y^2=u^2-2v.$$
а)
Получаем систему
$$\begin{cases} \sqrt{u^2-4v}+v=u,\\ u^2-2v-u=2. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\sqrt{u^2-4v}=u-v.$$
Возводим в квадрат:
$$u^2-4v=(u-v)^2=u^2-2uv+v^2,$$
$$v^2-2uv+4v=0,$$
$$v(v-2u+4)=0.$$
Значит, либо $$v=0,$$ либо $$v=2u-4.$$
Из второго уравнения имеем
$$u^2-2v-u=2.$$
1) Если $$v=0,$$ то
$$u^2-u-2=0,$$
$$u=2 \text{ или } u=-1.$$
Так как $$u-v\ge 0,$$ при $$v=0$$ подходит только $$u=2.$$ Тогда
$$x+y=2,\quad xy=0,$$
откуда
$$(x,y)=(0,2),\ (2,0).$$
2) Если $$v=2u-4,$$ то
$$u^2-2(2u-4)-u=2,$$
$$u^2-5u+6=0,$$
$$u=2 \text{ или } u=3.$$
При $$u=2$$ получаем $$v=0,$$ что уже учтено. При $$u=3$$ имеем $$v=2.$$ Тогда
$$x+y=3,\quad xy=2,$$
откуда
$$x^2-3x+2=0,$$
$$x=1 \text{ или } x=2.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(1,2),\ (2,1).$$
б)
Получаем систему
$$\begin{cases} |x-y|+x+y=3xy,\\ x^2+y^2-xy=3. \end{cases}$$
Введём $$u=x+y,\ v=xy.$$ Тогда
$$\begin{cases} \sqrt{u^2-4v}+u=3v,\\ u^2-3v=3. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\sqrt{u^2-4v}=3v-u.$$
Возводим в квадрат:
$$u^2-4v=(3v-u)^2=9v^2-6uv+u^2,$$
$$9v^2-6uv+4v=0,$$
$$v(9v-6u+4)=0.$$
Значит, либо $$v=0,$$ либо $$v=\dfrac{6u-4}{9}.$$
Из второго уравнения:
$$u^2-3v=3.$$
1) Если $$v=0,$$ то
$$u^2=3,$$
$$u=\pm\sqrt{3}.$$
Так как $$3v-u\ge 0,$$ подходит только $$u=-\sqrt{3}.$$ Тогда
$$x+y=-\sqrt{3},\quad xy=0,$$
откуда
$$(x,y)=(0,-\sqrt{3}),\ (-\sqrt{3},0).$$
2) Если $$v=\dfrac{6u-4}{9},$$ то
$$u^2-3\cdot \frac{6u-4}{9}=3,$$
$$3u^2-6u-5=0.$$
Тогда
$$u=\frac{6\pm\sqrt{36+60}}{6} =\frac{6\pm4\sqrt{6}}{6} =\frac{3\pm2\sqrt{6}}{3}.$$
Из условия $$3v-u\ge 0$$ подходит только
$$u=\frac{3+2\sqrt{6}}{3},\qquad v=\frac{2+4\sqrt{6}}{9}.$$
Теперь решаем систему
$$\begin{cases} x+y=\dfrac{3+2\sqrt{6}}{3},\\[4pt] xy=\dfrac{2+4\sqrt{6}}{9}. \end{cases}$$
Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-\frac{3+2\sqrt{6}}{3}t+\frac{2+4\sqrt{6}}{9}=0.$$
Его корни:
$$t=\frac{1+2\sqrt{6}}{3},\qquad t=\frac{2}{3}.$$
Следовательно,
$$(x,y)=\left(\frac{1+2\sqrt{6}}{3},\frac{2}{3}\right),\ \left(\frac{2}{3},\frac{1+2\sqrt{6}}{3}\right).$$
Ответ
а) $$(0,2),\ (2,0),\ (1,2),\ (2,1).$$
б) $$(0,-\sqrt{3}),\ (-\sqrt{3},0),\ \left(\frac{1+2\sqrt{6}}{3},\frac{2}{3}\right),\ \left(\frac{2}{3},\frac{1+2\sqrt{6}}{3}\right).$$
