Упр.2.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}x^2+xy+y^2=3,\\xy(x^2+y^2)=2;\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5,\\\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=13;\end{cases}$$

в) система $$\begin{cases}x^2+y^2=5,\\x^4+y^4=13;\end{cases}$$

г) система $$\begin{cases}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4,\\xy(x+y)=2.\end{cases}$$

Обозначим $$s=x+y,\quad p=xy.$$ Тогда симметрические системы удобно сводятся к уравнениям относительно $$s$$ и $$p$$.

а)

Имеем

$$\begin{cases} x^2+xy+y^2=3,\\ xy(x^2+y^2)=2. \end{cases}$$

Так как $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=s^2-2p,$$ то

$$s^2-p=3,$$

$$p(s^2-2p)=2.$$

Из первого уравнения $$s^2=3+p$$. Подставим во второе:

$$p(3+p-2p)=2 \;\Rightarrow\; p(3-p)=2$$

$$p^2-3p+2=0$$

$$(p-1)(p-2)=0.$$

1) Если $$p=1,$$ то $$s^2=4,$$ значит $$s=\pm 2.$$ Тогда

$$t^2-st+p=0$$

имеет корни $$x,y=1,1$$ или $$x,y=-1,-1.$$

2) Если $$p=2,$$ то $$s^2=5,$$ а из $$p(s^2-2p)=2$$ получаем $$2(5-4)=2,$$ что верно. Но тогда

$$t^2-st+2=0$$

должно иметь действительные корни, а при $$s^2=5$$ и $$p=2$$ это возможно только при $$x=y=\pm\sqrt2,$$ что не даёт $$xy=2$$ вместе с первым уравнением. Следовательно, этот случай не подходит.

Итак, решения:

$$(-1,-1),\ (1,1).$$

б)

Пусть

$$\begin{cases} \dfrac1x+\dfrac1y=5,\\[4pt] \dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=13. \end{cases}$$

Тогда

$$\dfrac{x+y}{xy}=5 \;\Rightarrow\; s=5p,$$

а также

$$\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}=13.$$

Так как $$x^2+y^2=s^2-2p,$$ получаем

$$\dfrac{s^2-2p}{p^2}=13.$$

Подставим $$s=5p$$:

$$\dfrac{25p^2-2p}{p^2}=13$$

$$25-\dfrac{2}{p}=13$$

$$\dfrac{2}{p}=12 \;\Rightarrow\; p=\dfrac16.$$

Тогда $$s=\dfrac56.$$ Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2-\dfrac56 t+\dfrac16=0.$$

$$6t^2-5t+1=0,$$

$$D=25-24=1,$$

$$t_1=\dfrac{5-1}{12}=\dfrac13,\qquad t_2=\dfrac{5+1}{12}=\dfrac12.$$

Следовательно,

$$\left(\dfrac13,\dfrac12\right),\ \left(\dfrac12,\dfrac13\right).$$

в)

Дана система

$$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x^4+y^4=13. \end{cases}$$

Возведём первое уравнение в квадрат:

$$(x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4=25.$$

Вычтем второе уравнение:

$$2x^2y^2=25-13=12,$$

$$x^2y^2=6,$$

$$xy=\pm\sqrt6.$$

Пусть $$xy=\sqrt6.$$ Тогда

$$x^2+y^2=5,\qquad xy=\sqrt6.$$

Числа $$x^2$$ и $$y^2$$ — корни уравнения

$$t^2-5t+6=0,$$

откуда $$t=2$$ или $$t=3.$$ Значит,

$$\{x^2,y^2\}=\{2,3\}.$$

При $$xy=\sqrt6$$ знаки у $$x$$ и $$y$$ одинаковые, поэтому получаем

$$(\sqrt2,\sqrt3),\ (\sqrt3,\sqrt2),\ (-\sqrt2,-\sqrt3),\ (-\sqrt3,-\sqrt2).$$

При $$xy=-\sqrt6$$ знаки противоположные:

$$(\sqrt2,-\sqrt3),\ (\sqrt3,-\sqrt2),\ (-\sqrt2,\sqrt3),\ (-\sqrt3,\sqrt2).$$

г)

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x+y+\dfrac1x+\dfrac1y=4,\\[4pt] xy(x+y)=2. \end{cases}$$

Пусть $$s=x+y,$$ $$p=xy.$$ Тогда из второго уравнения

$$ps=2 \;\Rightarrow\; p=\dfrac{2}{s}.$$

Первое уравнение перепишем так:

$$s+\dfrac{s}{p}=4.$$

Подставим $$p=\dfrac{2}{s}:$$

$$s+\dfrac{s}{2/s}=4$$

$$s+\dfrac{s^2}{2}=4$$

$$s^2+2s-8=0$$

$$(s+4)(s-2)=0.$$

Значит, $$s=-4$$ или $$s=2.$$

1) Если $$s=-4,$$ то $$p=\dfrac{2}{-4}=-\dfrac12.$$ Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$t^2+4t-\dfrac12=0.$$

$$2t^2+8t-1=0,$$

$$D=64+8=72.$$

$$t=\dfrac{-8\pm\sqrt{72}}{4}=\dfrac{-4\pm3\sqrt2}{2}.$$

Получаем пары

$$\left(\dfrac{-4+3\sqrt2}{2},\dfrac{-4-3\sqrt2}{2}\right),\quad \left(\dfrac{-4-3\sqrt2}{2},\dfrac{-4+3\sqrt2}{2}\right).$$

2) Если $$s=2,$$ то $$p=1.$$ Тогда

$$t^2-2t+1=0,$$

$$(t-1)^2=0,$$

откуда $$x=y=1.$$

Итак,

$$\left(\dfrac{-4+3\sqrt2}{2},\dfrac{-4-3\sqrt2}{2}\right),\ \left(\dfrac{-4-3\sqrt2}{2},\dfrac{-4+3\sqrt2}{2}\right),\ (1,1).$$

Ответ

а) $$(-1,-1),\ (1,1)$$; б) $$\left(\dfrac13,\dfrac12\right),\ \left(\dfrac12,\dfrac13\right)$$; в) $$(-\sqrt3,-\sqrt2),\ (-\sqrt3,\sqrt2),\ (-\sqrt2,-\sqrt3),\ (-\sqrt2,\sqrt3),\ (\sqrt2,-\sqrt3),\ (\sqrt2,\sqrt3),\ (\sqrt3,-\sqrt2),\ (\sqrt3,\sqrt2)$$; г) $$\left(\dfrac{-4+3\sqrt2}{2},\dfrac{-4-3\sqrt2}{2}\right),\ \left(\dfrac{-4-3\sqrt2}{2},\dfrac{-4+3\sqrt2}{2}\right),\ (1,1).$$