Упр.2.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) система $$\begin{cases}x+y=5,\\x^2+y^2=13;\end{cases}$$
б) система $$\begin{cases}xy-3x-3y=-9,\\x^2+y^2-5x-5y=-10;\end{cases}$$
в) система $$\begin{cases}x+y+xy=5,\\xy(x+y)=6;\end{cases}$$
г) система $$\begin{cases}xy-7x-7y=-9,\\x^2+y^2+11(x+y)=16.\end{cases}$$
Положим $$s=x+y,\quad p=xy.$$ Тогда симметрические системы сводятся к уравнениям относительно $$s$$ и $$p$$.
а)
$$\begin{cases} x+y=5,\\ x^2+y^2=13 \end{cases}$$
Используем формулу $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$$:
$$25-2xy=13,\quad 2xy=12,\quad xy=6.$$
Тогда числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0.$$
$$(t-2)(t-3)=0,\quad t=2 \text{ или } t=3.$$
Значит, $$\{x,y\}=\{2,3\}$$.
б)
$$\begin{cases} xy-3x-3y=-9,\\ x^2+y^2-5x-5y=-10 \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$xy-3(x+y)=-9.$$
Второе уравнение:
$$(x+y)^2-2xy-5(x+y)=-10.$$
Обозначим $$s=x+y,\ p=xy$$. Тогда
$$\begin{cases} p-3s=-9,\\ s^2-2p-5s=-10 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$p=3s-9$$. Подставим во второе:
$$s^2-2(3s-9)-5s=-10,$$
$$s^2-11s+28=0.$$
$$D=121-112=9,\quad s_1=4,\ s_2=7.$$
1) Если $$x+y=4$$, то $$xy=3$$. Тогда
$$t^2-4t+3=0,\quad t=1 \text{ или } t=3.$$
Получаем пары $$(1,3)$$ и $$(3,1)$$.
2) Если $$x+y=7$$, то $$xy=12$$. Тогда
$$t^2-7t+12=0,\quad t=3 \text{ или } t=4.$$
Получаем пары $$(3,4)$$ и $$(4,3)$$.
в)
$$\begin{cases} x+y+xy=5,\\ xy(x+y)=6 \end{cases}$$
Обозначим $$s=x+y,\ p=xy$$. Тогда
$$\begin{cases} s+p=5,\\ sp=6 \end{cases}$$
Следовательно, $$s$$ и $$p$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+6=0.$$
$$(t-2)(t-3)=0,\quad t=2 \text{ или } t=3.$$
1) Если $$x+y=2$$, $$xy=3$$, то
$$t^2-2t+3=0,\quad D=4-12=-8<0,$$
действительных решений нет.
2) Если $$x+y=3$$, $$xy=2$$, то
$$t^2-3t+2=0,\quad t=1 \text{ или } t=2.$$
Получаем пары $$(1,2)$$ и $$(2,1)$$.
г)
$$\begin{cases} xy-7x-7y=-9,\\ x^2+y^2+11(x+y)=16 \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$xy-7(x+y)=-9.$$
Второе уравнение:
$$(x+y)^2-2xy+11(x+y)=16.$$
Обозначим $$s=x+y,\ p=xy$$. Тогда
$$\begin{cases} p-7s=-9,\\ s^2-2p+11s=16 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$p=7s-9$$. Подставим во второе:
$$s^2-2(7s-9)+11s=16,$$
$$s^2-3s+2=0.$$
$$(t-1)(t-2)=0,\quad s=1 \text{ или } s=2.$$
1) Если $$x+y=1$$, то $$xy=-2$$. Тогда
$$t^2-t-2=0,\quad t=-1 \text{ или } t=2.$$
Получаем пары $$(-1,2)$$ и $$(2,-1)$$.
2) Если $$x+y=2$$, то $$xy=5$$. Тогда
$$t^2-2t+5=0,\quad D=4-20=-16<0,$$
действительных решений нет.
Ответ
а) $$(2;3),\ (3;2)$$;
б) $$(1;3),\ (3;1),\ (3;4),\ (4;3)$$;
в) $$(1;2),\ (2;1)$$;
г) $$(-1;2),\ (2;-1)$$.
