Упр.2.20 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 2.20. а) $$x^2+y^2=16$$; б) $$x^2+y^2-6x+4y=12$$; в) $$x^2+y^2+4x+2y=4$$; г) $$4(x^2+y^2)+12x+20y+34=0$$.

Приведём уравнения к каноническому виду, выделяя полные квадраты.

1. $$x^2+y^2=16.$$

   Это окружность с центром в начале координат и радиусом $$R=4.$$

   $$O(0;0), \quad R=4.$$

2. $$x^2+y^2-6x+4y=12.$$

   Перенесём число $$12$$ в левую часть и дополним до квадратов:

   $$x^2-6x+y^2+4y=12$$

   $$x^2-6x+9+y^2+4y+4=12+9+4$$

   $$\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=25.$$

   Значит, центр окружности $$O(3;-2),$$ радиус $$R=5.$$

3. $$x^2+y^2+4x+2y=4.$$

   Перенесём число $$4$$ в левую часть и дополним до квадратов:

   $$x^2+4x+y^2+2y=4$$

   $$x^2+4x+4+y^2+2y+1=4+4+1$$

   $$\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=9.$$

   Следовательно, центр окружности $$O(-2;-1),$$ радиус $$R=3.$$

4. $$4\left(x^2+y^2\right)+12x+20y+34=0.$$

   Разделим уравнение на $$4$$:

   $$x^2+y^2+3x+5y+\frac{17}{2}=0.$$

   Перенесём свободный член и дополним до квадратов:

   $$x^2+3x+y^2+5y=-\frac{17}{2}$$

   $$x^2+3x+\frac{9}{4}+y^2+5y+\frac{25}{4}=-\frac{17}{2}+\frac{9}{4}+\frac{25}{4}$$

   $$\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2=0.$$

   Это вырожденная окружность — точка с координатами $$\left(-\frac{3}{2};-\frac{5}{2}\right).$$

Ответ: а) окружность с центром $$O(0;0)$$ и радиусом $$4$$; б) окружность с центром $$O(3;-2)$$ и радиусом $$5$$; в) окружность с центром $$O(-2;-1)$$ и радиусом $$3$$; г) точка $$\left(-\frac{3}{2};-\frac{5}{2}\right).$$