Упр.2.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Пусть $$x+y=-7$$, а $$xy=-1$$. Найдите значение выражения:
а) $$\frac{|x-y|}{xy^2+x^2y}+2\left|\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right|$$;
б) $$\frac{x^4-y^4}{xy^3+x^3y}+\left|\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}\right|$$.

Подробный ответ

Пусть $$x+y=-7,\quad xy=-1.$$

Ход решения

а)

Преобразуем выражение:

$$\frac{|x-y|}{xy^2+x^2y}+2\left|\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right| = \frac{|x-y|}{xy(x+y)}+2\left|\frac{x^2-y^2}{xy}\right|.$$

Так как

$$|x-y|=\sqrt{(x-y)^2}=\sqrt{(x+y)^2-4xy},$$

то

$$|x-y|=\sqrt{(-7)^2-4\cdot(-1)}=\sqrt{53}.$$

Кроме того,

$$|x+y|=|-7|=7,\qquad |xy|=|-1|=1.$$

Тогда

$$\frac{|x-y|}{xy(x+y)}=\frac{\sqrt{53}}{(-1)\cdot(-7)}=\frac{\sqrt{53}}{7},$$

а

$$2\left|\frac{x^2-y^2}{xy}\right| =2\cdot \frac{|x-y|\cdot|x+y|}{|xy|} =2\cdot \sqrt{53}\cdot 7 =14\sqrt{53}.$$

Следовательно,

$$\frac{\sqrt{53}}{7}+14\sqrt{53} =\frac{\sqrt{53}}{7}+\frac{98\sqrt{53}}{7} =\frac{99\sqrt{53}}{7}.$$

б)

Преобразуем выражение:

$$\left|\frac{x^4-y^4}{xy^3+x^3y}\right|+\left|\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}\right| = \left|\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{xy(x^2+y^2)}\right| +\left|\frac{x^4-y^4}{x^2y^2}\right|.$$

Отсюда

$$\left|\frac{x^4-y^4}{xy^3+x^3y}\right| = \left|\frac{x^2-y^2}{xy}\right| = \frac{|x-y|\cdot|x+y|}{|xy|} =\sqrt{53}\cdot 7 =7\sqrt{53}.$$

Далее

$$\left|\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}\right| = \left|\frac{x^4-y^4}{x^2y^2}\right| = \frac{|x^2-y^2|\cdot|x^2+y^2|}{(xy)^2}.$$

Найдём

$$|x^2-y^2|=|x-y|\cdot|x+y|=7\sqrt{53},$$

а также

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=49+2=51.$$

Тогда

$$\left|\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{x^2}\right| = 7\sqrt{53}\cdot 51 =357\sqrt{53}.$$

Итак,

$$7\sqrt{53}+357\sqrt{53}=350\sqrt{53}.$$