Упр.2.19 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 2.19. а) $$(2x+y-5)^2-(x+y-3)^2=0$$; б) $$(2x+y-5)^2+(x+y-3)^2=0$$.

а) Преобразуем разность квадратов:

$$(2x+y-5)^2-(x+y-3)^2=0$$

$$\bigl((2x+y-5)-(x+y-3)\bigr)\bigl((2x+y-5)+(x+y-3)\bigr)=0$$

$$(x-2)(3x+2y-8)=0$$

Отсюда:

$$x-2=0 \quad \text{или} \quad 3x+2y-8=0$$

$$x=2 \quad \text{или} \quad y=-\frac{3}{2}x+4$$

Значит, множество решений — все точки прямой $$x=2$$ и все точки прямой $$y=-\frac{3}{2}x+4$$.

б) Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$(2x+y-5)^2+(x+y-3)^2=0$$

$$\begin{cases} 2x+y-5=0,\\ x+y-3=0. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$x-2=0 \Rightarrow x=2$$

Подставим в $$x+y-3=0$$:

$$2+y-3=0 \Rightarrow y=1$$

Итак, решение системы: $$\,(2;1)\,.$$

Ответ: а) $$x=2$$ или $$y=-\frac{3}{2}x+4$$; б) $$(2;1)$$.