Упр.2.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$x+y=-3$$, а $$xy=-5$$. Найдите значение выражения: а) $$x^2+y^2$$; б) $$x^3+y^3$$; в) $$x^4+y^4$$; г) $$x^2y^7+x^7y^2$$.

Используем формулы преобразования суммы и произведения:

$$x+y=-3,\qquad xy=-5.$$

1. $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(-3)^2-2\cdot(-5)=9+10=19.$$

2. $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)\bigl((x+y)^2-3xy\bigr).$$

   $$x^3+y^3=-3\bigl((-3)^2-3\cdot(-5)\bigr)=-3(9+15)=-72.$$

3. $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2.$$

   $$x^4+y^4=19^2-2\cdot(-5)^2=361-50=311.$$

4. $$x^2y^7+x^7y^2=x^2y^2(x^5+y^5).$$

   $$x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4).$$

   Выразим через $$x+y$$ и $$xy$$:
   $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2,$$
   поэтому
   $$x^5+y^5=(x+y)\bigl((x^2+y^2)^2-2x^2y^2-xy(x^2+y^2)\bigr).$$

   Подставим $$x+y=-3$$, $$xy=-5$$, $$x^2+y^2=19$$:
   $$x^5+y^5=-3\bigl(19^2-2\cdot25-(-5)\cdot19\bigr)=-3(361-50+95)=-3\cdot406=-1218.$$

   Тогда
   $$x^2y^7+x^7y^2=(xy)^2(x^5+y^5)=25\cdot(-1218)=-30450.$$

Ответ: а) $$19$$; б) $$-72$$; в) $$311$$; г) $$-30450$$.