Упр.2.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}x^3+xy^2=5,\\y^2+x^2y=10;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x^3-y^3=7,\\x^3-y^3=9-x^2y+xy^2.\end{cases}$$

а) Преобразуем систему:

$$\begin{cases} x^3+xy^2=5,\\ y^3+x^2y=10 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x(x^2+y^2)=5,\\ y(x^2+y^2)=10 \end{cases}$$

Так как $$x^2+y^2 \neq 0,$$ разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{y(x^2+y^2)}{x(x^2+y^2)}=\frac{10}{5} \Rightarrow \frac{y}{x}=2 \Rightarrow y=2x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^3+x(2x)^2=5$$

$$x^3+4x^3=5$$

$$5x^3=5$$

$$x^3=1 \Rightarrow x=1,\quad y=2.$$

Ответ: $$(1; 2).$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} x^3-y^3=7,\\ x^3-y^3=9-x^2y+xy^2 \end{cases}$$

Из равенства правых частей получаем:

$$7=9-x^2y+xy^2$$

$$x^2y-xy^2=2$$

$$xy(x-y)=2.$$

Из первого уравнения:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=7.$$

Так как $$xy(x-y)=2,$$ то

$$x^2+xy+y^2=(x-y)^2+3xy.$$

Подставим $$x-y=\frac{2}{xy}$$ в первое уравнение:

$$\frac{2}{xy}\left(\left(\frac{2}{xy}\right)^2+3xy\right)=7.$$

После преобразований получаем:

$$x^3y^3=8 \Rightarrow xy=2.$$

Тогда из $$xy(x-y)=2$$ имеем:

$$2(x-y)=2 \Rightarrow x-y=1.$$

Решаем систему

$$\begin{cases} xy=2,\\ x-y=1 \end{cases}$$

Получаем:

$$x=2,\ y=1 \quad \text{или} \quad x=-1,\ y=-2.$$

Ответ: $$(-1; -2),\ (2; 1).$$