Упр.2.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}x^2+x(y-1)-2(y-1)^2=0,\\x^2+xy+y=1;\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}x^2+x(y-1)+(y-1)^2=3,\\x^2+y^2=2y+1.\end{cases}$$

а) Из второго уравнения выразим $$x^2+xy+y-1=0.$$

Первое уравнение перепишем так:

$$x^2+x(y-1)-2(y-1)^2=0.$$

Вычтем из него второе:

$$x^2+x(y-1)-2(y-1)^2-\bigl(x^2+xy+y-1\bigr)=0,$$

$$-x-2(y-1)^2-y+1=0,$$

$$x=-2(y-1).$$

Подставим в уравнение $$x^2+xy+y=1$$:

$$4(y-1)^2-2y(y-1)+y=1,$$

$$4y^2-8y+4-2y^2+2y+y=1,$$

$$2y^2-5y+3=0,$$

$$D=25-24=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm1}{4}.$$

Тогда $$y_1=1,\; y_2=\frac32.$$

Найдём соответствующие $$x$$:

при $$y=1$$: $$x=-2(1-1)=0$$;

при $$y=\frac32$$: $$x=-2\left(\frac32-1\right)=-1.$$

Кроме того, если $$x=-(y-1)$$, то из первого уравнения получаем:

$$(y-1)^2-y(y-1)+y=1,$$

$$y^2-2y+1-y^2+y+y=1,$$

$$2y^2-2y=0,$$

$$2y(y-1)=0,$$

откуда $$y=0$$ или $$y=1.$$

Тогда:

при $$y=0$$: $$x=-1$$;

при $$y=1$$: $$x=0$$.

Итак, решения системы:

$$(-1;0),\;(-1;\tfrac32),\;(0;1).$$

б) Из второго уравнения:

$$x^2+y^2=2y+1 \;\Rightarrow\; x^2+(y-1)^2=2.$$

Первое уравнение преобразуем:

$$x^2+x(y-1)+(y-1)^2=3.$$

Вычтем из него равенство $$x^2+(y-1)^2=2$$:

$$x(y-1)=1.$$

Положим $$t=y-1$$. Тогда $$xt=1$$ и $$x^2+t^2=2.$$

Из $$xt=1$$ имеем $$t=\frac1x$$, поэтому

$$x^2+\frac1{x^2}=2,$$

$$x^4-2x^2+1=0,$$

$$\left(x^2-1\right)^2=0,$$

$$x=\pm1.$$

Если $$x=1$$, то $$t=1$$, значит $$y=2$$.

Если $$x=-1$$, то $$t=-1$$, значит $$y=0$$.

Следовательно, решения системы:

$$(-1;0),\;(1;2).$$

Ответ

а) $$(-1;0),\;(-1;\tfrac32),\;(0;1)$$; б) $$(-1;0),\;(1;2)$$.