Упр.2.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) система $$\left\{\begin{aligned} x^2+4|x|y-3y^2&=2,\\ x^2-|x|y+5y^2&=5; \end{aligned}\right.$$
б) система $$\left\{\begin{aligned} 3x^2-y^2&=11,\\ x^2+2|x||y|-y^2&=7. \end{aligned}\right.$$
а) Введём новую переменную $$z=|x|.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} z^2+4zy-3y^2=2,\\ z^2-zy+5y^2=5. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе на $$2$$ и вычтем второе из первого:
$$\begin{cases} 5z^2+20zy-15y^2=10,\\ 2z^2-2zy+10y^2=10 \end{cases}$$
$$3z^2+22zy-25y^2=0.$$
Так как $$z=|x|,$$ то $$z\ge 0.$$ Перепишем:
$$3z^2-3zy+25zy-25y^2=0,$$
$$3z(z-y)+25y(z-y)=0,$$
$$(3z+25y)(z-y)=0.$$
Отсюда:
$$z=y \quad \text{или} \quad z=-\frac{25y}{3}.$$
1) Если $$z=-\frac{25y}{3},$$ то подставим в первое уравнение:
$$\left(-\frac{25y}{3}\right)^2+4y\left(-\frac{25y}{3}\right)-3y^2=2,$$
$$\frac{625y^2}{9}-\frac{100y^2}{3}-3y^2=2,$$
$$\frac{625y^2-300y^2-27y^2}{9}=2,$$
$$\frac{298y^2}{9}=2,$$
$$y^2=\frac{18}{298}=\frac{9}{149}.$$
Тогда
$$y=\pm \frac{3}{\sqrt{149}}, \qquad |x|=\frac{25}{3}|y|=\frac{25}{\sqrt{149}}.$$
Значит,
$$(x,y)=\left(\pm \frac{25}{\sqrt{149}},-\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ \left(\pm \frac{25}{\sqrt{149}},\frac{3}{\sqrt{149}}\right).$$
Но при $$z=-\frac{25y}{3}$$ должно быть $$z\ge 0,$$ поэтому подходит только $$y<0.$$ Следовательно, получаем
$$\left(\pm \frac{25}{\sqrt{149}},-\frac{3}{\sqrt{149}}\right).$$
2) Если $$z=y,$$ то из первого уравнения:
$$y^2+4y^2-3y^2=2,$$
$$2y^2=2,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm 1.$$
Так как $$z=|x|=y,$$ то $$y\ge 0,$$ значит $$y=1,$$ и тогда
$$|x|=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Получаем решения:
$$(1;1),\ (-1;1).$$
Итак, для пункта а):
$$\left(\pm \frac{25}{\sqrt{149}};-\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ (1;1),\ (-1;1).$$
б) Введём новую переменную $$z=|x|,\ t=|y|.$$ Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} 3z^2-t^2=11,\\ z^2+2zt-t^2=7. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$7,$$ второе на $$11$$ и вычтем:
$$\begin{cases} 21z^2-7t^2=77,\\ 11z^2+22zt-11t^2=77 \end{cases}$$
$$10z^2-22zt+4t^2=0,$$
$$5z^2-11zt+2t^2=0.$$
Разложим на множители:
$$5z^2-10zt-zt+2t^2=0,$$
$$5z(z-2t)-t(z-2t)=0,$$
$$(5z-t)(z-2t)=0.$$
Отсюда:
$$t=5z \quad \text{или} \quad z=2t.$$
1) Если $$t=5z,$$ то из первого уравнения:
$$3z^2-(5z)^2=11,$$
$$3z^2-25z^2=11,$$
$$-22z^2=11,$$
что невозможно. Значит, этот случай не подходит.
2) Если $$z=2t,$$ то из первого уравнения:
$$3(2t)^2-t^2=11,$$
$$12t^2-t^2=11,$$
$$11t^2=11,$$
$$t^2=1,$$
$$t=1.$$
Тогда $$z=2,$$ то есть
$$|x|=2,\qquad |y|=1.$$
Следовательно,
$$(x,y)=(-2;-1),\ (-2;1),\ (2;-1),\ (2;1).$$
Ответ: а) $$\left(\pm \frac{25}{\sqrt{149}};-\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ (1;1),\ (-1;1);$$ б) $$(-2;-1),\ (-2;1),\ (2;-1),\ (2;1).$$
