Упр.2.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) система $$\begin{cases} x^2+3xy+2y^2=0,\\ 2x^2+xy=25; \end{cases}$$ б) система $$\begin{cases} x^2+xy-3y^2=-23,\\ x^2-y^2-2xy=-14; \end{cases}$$ в) система $$\begin{cases} 2x^3+xy-3y^2=0,\\ x^2-y^2+xy=4; \end{cases}$$ г) система $$\begin{cases} x^2+3xy=7,\\ y^2+xy=6. \end{cases}$$

Подробный ответ

а) Из первого уравнения:
$$x^2+3xy+2y^2=0$$
$$x^2+xy+2xy+2y^2=0$$
$$x(x+y)+2y(x+y)=0$$
$$\left(x+2y\right)\left(x+y\right)=0$$
Значит, либо $$x=-2y$$, либо $$x=-y$$.
1) Если $$x=-2y$$, то
$$2x^2+xy=25$$
$$2( -2y)^2+(-2y)\cdot y=25$$
$$8y^2-2y^2=25$$
$$6y^2=25$$
$$y=\pm \frac{5\sqrt6}{6}, \quad x=\mp \frac{5\sqrt6}{3}$$
2) Если $$x=-y$$, то
$$2x^2+xy=25$$
$$2(-y)^2+(-y)\cdot y=25$$
$$y^2=25$$
$$y=\pm 5, \quad x=\mp 5$$
б) Умножим первое уравнение на $$14$$, а второе на $$-23$$:
$$14x^2+14xy-42y^2=-322$$
$$-23x^2+23y^2+46xy=322$$
Сложим:
$$-9x^2+60xy-19y^2=0$$
$$9x^2-60xy+19y^2=0$$
$$9x^2-3xy-57xy+19y^2=0$$
$$3x(3x-y)-19y(3x-y)=0$$
$$\left(3x-19y\right)\left(3x-y\right)=0$$
Значит, либо $$3x=19y$$, либо $$3x=y$$.
1) Если $$3x=19y$$, то $$x=\frac{19y}{3}$$. Подставим во второе уравнение:
$$x^2-y^2-2xy=-14$$
$$\left(\frac{19y}{3}\right)^2-y^2-2\cdot \frac{19y}{3}\cdot y=-14$$
$$\frac{361y^2}{9}-y^2-\frac{38y^2}{3}=-14$$
$$\frac{238y^2}{9}=-14$$
$$y^2=-\frac{63}{119}$$
Реальных решений нет.
2) Если $$3x=y$$, то $$y=3x$$. Подставим во второе уравнение:
$$x^2-(3x)^2-2x\cdot 3x=-14$$
$$x^2-9x^2-6x^2=-14$$
$$-14x^2=-14$$
$$x^2=1$$
$$x=\pm 1,\quad y=\pm 3$$
в) Из первого уравнения:
$$2x^2+xy-3y^2=0$$
$$2x^2-2xy+3xy-3y^2=0$$
$$2x(x-y)+3y(x-y)=0$$
$$\left(2x+3y\right)\left(x-y\right)=0$$
Значит, либо $$x=y$$, либо $$2x=-3y$$.
1) Если $$x=y$$, то
$$x^2-y^2+xy=4$$
$$x^2-x^2+x^2=4$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2,\quad y=\pm 2$$
2) Если $$2x=-3y$$, то $$x=-\frac{3y}{2}$$. Подставим во второе уравнение:
$$x^2-y^2+xy=4$$
$$\left(-\frac{3y}{2}\right)^2-y^2+y\cdot \left(-\frac{3y}{2}\right)=4$$
$$\frac{9y^2}{4}-y^2-\frac{3y^2}{2}=4$$
$$y^2=-16$$
Реальных решений нет.
г) Умножим первое уравнение на $$6$$, второе на $$7$$:
$$6x^2+18xy=42$$
$$7y^2+7xy=42$$
Вычтем второе из первого:
$$6x^2+11xy-7y^2=0$$
$$6x^2+14xy-3xy-7y^2=0$$
$$2x(3x+7y)-y(3x+7y)=0$$
$$\left(2x-y\right)\left(3x+7y\right)=0$$
Значит, либо $$y=2x$$, либо $$3x=-7y$$.
1) Если $$y=2x$$, то
$$x^2+3x\cdot 2x=7$$
$$7x^2=7$$
$$x^2=1$$
$$x=\pm 1,\quad y=\pm 2$$
2) Если $$3x=-7y$$, то $$x=-\frac{7y}{3}$$. Подставим в первое уравнение:
$$x^2+3xy=7$$
$$\left(-\frac{7y}{3}\right)^2+3\cdot \left(-\frac{7y}{3}\right)y=7$$
$$\frac{49y^2}{9}-7y^2=7$$
$$-\frac{14y^2}{9}=7$$
$$y^2=-\frac{9}{2}$$
Реальных решений нет.