Упр.2.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Система $$\begin{cases} x^2-xy-2y^2=0, \\ x^2+y^2=20; \end{cases}$$

б) Система $$\begin{cases} x^2+3xy+9y^2=12, \\ x^2+3xy+2y^2=0. \end{cases}$$

а) Из первого уравнения вынесем общий множитель:

$$x^2-xy-2y^2=x^2+xy-2xy-2y^2=x(x+y)-2y(x+y)=(x-2y)(x+y)=0.$$

Значит, либо $$x-2y=0,$$ либо $$x+y=0.$$

1) Если $$x=2y,$$ то из второго уравнения получаем:

$$(2y)^2+y^2=20 \\\\ 4y^2+y^2=20 \\\\ 5y^2=20 \\\\ y^2=4 \\\\ y=\pm 2.$$

Тогда $$x=\pm 4.$$

2) Если $$x=-y,$$ то

$$(-y)^2+y^2=20 \\\\ 2y^2=20 \\\\ y^2=10 \\\\ y=\pm \sqrt{10}.$$

Тогда $$x=\mp \sqrt{10}.$$

Итак, решения системы:

$$(-\sqrt{10};\sqrt{10}),\ (\sqrt{10};-\sqrt{10}),\ (-4;-2),\ (4;2).$$

б) Из второго уравнения вынесем общий множитель:

$$x^2+3xy+2y^2=x^2+xy+2xy+2y^2=x(x+y)+2y(x+y)=(x+2y)(x+y)=0.$$

Значит, либо $$x+2y=0,$$ либо $$x+y=0.$$

1) Если $$x=-2y,$$ то из первого уравнения:

$$(-2y)^2+3y(-2y)+9y^2=12 \\\\ 4y^2-6y^2+9y^2=12 \\\\ 7y^2=12 \\\\ y^2=\frac{12}{7} \\\\ y=\pm \sqrt{\frac{12}{7}}=\pm 2\sqrt{\frac{3}{7}}.$$

Тогда

$$x=\mp 4\sqrt{\frac{3}{7}}.$$

2) Если $$x=-y,$$ то

$$(-y)^2+3y(-y)+9y^2=12 \\\\ y^2-3y^2+9y^2=12 \\\\ 7y^2=12 \\\\ y=\pm 2\sqrt{\frac{3}{7}}.$$

Тогда

$$x=\mp 2\sqrt{\frac{3}{7}}.$$

Следовательно, решения системы:

$$\left(-4\sqrt{\frac{3}{7}};\ 2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(4\sqrt{\frac{3}{7}};\ -2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(-2\sqrt{\frac{3}{7}};\ 2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(2\sqrt{\frac{3}{7}};\ -2\sqrt{\frac{3}{7}}\right).$$

Ответ

а) $$(-\sqrt{10};\sqrt{10}),\ (\sqrt{10};-\sqrt{10}),\ (-4;-2),\ (4;2).$$

б) $$\left(-4\sqrt{\frac{3}{7}};\ 2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(4\sqrt{\frac{3}{7}};\ -2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(-2\sqrt{\frac{3}{7}};\ 2\sqrt{\frac{3}{7}}\right),\ \left(2\sqrt{\frac{3}{7}};\ -2\sqrt{\frac{3}{7}}\right).$$