Упр.2.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x^2-5xy+4y^2=0$$; б) $$5x^2+27xy-10y^2=0$$

Рассмотрим уравнения как квадратные относительно $$x$$.

а)

$$x^2-5xy+4y^2=0$$

Разложим на множители:

$$x^2-5xy+4y^2=x^2-xy-4xy+4y^2=x(x-y)-4y(x-y)=(x-4y)(x-y).$$

Тогда

$$(x-4y)(x-y)=0,$$

откуда

$$x-4y=0 \quad \text{или} \quad x-y=0.$$

Следовательно,

$$x=4y \quad \text{или} \quad x=y.$$

б)

$$5x^2+27xy-10y^2=0$$

Подберём разложение на множители:

$$5x^2+27xy-10y^2=5x^2+25xy+2xy+10y^2=(5x+2y)(x+5y).$$

Тогда

$$(5x+2y)(x+5y)=0,$$

откуда

$$5x+2y=0 \quad \text{или} \quad x+5y=0.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{2}{5}y \quad \text{или} \quad x=-5y.$$

Ответ

а) $$x=4y$$ или $$x=y$$; б) $$x=-\frac{2}{5}y$$ или $$x=-5y$$.