Упр.2.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите отношение $$\frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}$$, если:
   а) $$f(x;y)=2x^2+5xy-7y^2$$;
   б) $$f(x;y)=x^4+12x^3y-7x^2y^2+2xy^3-2y^4$$;
   в) $$f(x;y)=(3x-5y)^3+2x(x+y)^2-7y^2(2x-y)$$;
   г) $$f(x;y)=(x+y)^6+(5x^2-4y^2)^3-7(x^3-y^3)^2+x^3y^3$$.

Во всех пунктах подставим вместо $$x$$ и $$y$$ выражения $$kx$$ и $$ky$$ и вынесем общий множитель.

1. $$f(x;y)=2x^2+5xy-7y^2$$

   $$f(kx;ky)=2(kx)^2+5(kx)(ky)-7(ky)^2=k^2(2x^2+5xy-7y^2)=k^2f(x;y)$$

   Следовательно,

   $$\frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}=k^2.$$

2. $$f(x;y)=x^4+12x^3y-7x^2y^2+2xy^3-2y^4$$

   $$f(kx;ky)=(kx)^4+12(kx)^3(ky)-7(kx)^2(ky)^2+2(kx)(ky)^3-2(ky)^4$$

   $$f(kx;ky)=k^4\bigl(x^4+12x^3y-7x^2y^2+2xy^3-2y^4\bigr)=k^4f(x;y)$$

   Значит,

   $$\frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}=k^4.$$

3. $$f(x;y)=(3x-5y)^3+2x(x+y)^2-7y^2(2x-y)$$

   $$f(kx;ky)=(3kx-5ky)^3+2(kx)(kx+ky)^2-7(ky)^2(2kx-ky)$$

   $$f(kx;ky)=k^3(3x-5y)^3+k^3\cdot 2x(x+y)^2-k^3\cdot 7y^2(2x-y)=k^3f(x;y)$$

   Следовательно,

   $$\frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}=k^3.$$

4. $$f(x;y)=(x+y)^6+(5x^2-4y^2)^3-7(x^3-y^3)^2+x^3y^3$$

   $$f(kx;ky)=(kx+ky)^6+\bigl(5(kx)^2-4(ky)^2\bigr)^3-7\bigl((kx)^3-(ky)^3\bigr)^2+(kx)^3(ky)^3$$

   $$f(kx;ky)=k^6(x+y)^6+k^6(5x^2-4y^2)^3-k^6\cdot 7(x^3-y^3)^2+k^6x^3y^3=k^6f(x;y)$$

   Значит,

   $$\frac{f(kx;ky)}{f(x;y)}=k^6.$$

Ответ: а) $$k^2$$; б) $$k^4$$; в) $$k^3$$; г) $$k^6$$.