Упр.2.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Докажите, что сумма $$17^{11}+5^{11}$$ делится без остатка на $$22$$.
б) Докажите, что разность $$13^9-7^9$$ делится без остатка на $$6$$.

а) Представим сумму как разность степеней:

$$17^{11}+5^{11}=17^{11}-(-5)^{11}.$$

По формуле разности степеней при нечётном показателе:

$$a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right), \quad n \text{ — нечётное}.$$

Тогда

$$17^{11}-(-5)^{11}=(17-(-5))\left(17^{10}+17^9\cdot(-5)+17^8\cdot(-5)^2+\dots+(-5)^{10}\right).$$

Так как $$17-(-5)=22,$$ то

$$17^{11}+5^{11}=22\cdot\left(17^{10}-17^9\cdot 5+17^8\cdot 5^2-\dots-17\cdot 5^9+5^{10}\right),$$

значит, $$17^{11}+5^{11}$$ делится на $$22.$$

б) Аналогично, разность представим в виде разности степеней:

$$13^9-7^9=(13-7)\left(13^8+13^7\cdot 7+13^6\cdot 7^2+\dots+13\cdot 7^7+7^8\right).$$

Так как $$13-7=6,$$ то

$$13^9-7^9=6\cdot\left(13^8+13^7\cdot 7+13^6\cdot 7^2+\dots+13\cdot 7^7+7^8\right),$$

следовательно, $$13^9-7^9$$ делится на $$6.$$

Ответ: а) делится на $$22$$; б) делится на $$6$$.