Упр.19.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
а) $$f(x)=4e^x+3,\quad x_0=-2$$;
б) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\,e^x,\quad x_0=1$$;
в) $$f(x)=0{,}1e^x-10x,\quad x_0=0$$;
г) $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x},\quad x_0=1$$.
Найдём производную функции и подставим заданное значение $$x_0$$. Угловой коэффициент касательной равен $$k=f'(x_0)$$.
$$f(x)=4e^x+3,\quad x_0=-2$$
$$f'(x)=4e^x$$
$$f'(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}$$
$$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot e^x,\quad x_0=1$$
$$f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’e^x+\sqrt[3]{x}\cdot (e^x)’=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}e^x+\sqrt[3]{x}\,e^x$$
$$f'(x)=\frac{e^x}{3\sqrt[3]{x^2}}+\sqrt[3]{x}\,e^x=\frac{e^x(1+3x)}{3\sqrt[3]{x^2}}$$
$$f'(1)=\frac{e(1+3\cdot 1)}{3\sqrt[3]{1^2}}=\frac{4e}{3}$$
$$f(x)=0{,}1e^x-10x,\quad x_0=0$$
$$f'(x)=0{,}1e^x-10$$
$$f'(0)=0{,}1e^0-10=0{,}1-10=-9{,}9$$
$$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x},\quad x_0=1$$
$$f(x)=\sqrt{x}\cdot e^{-x}$$
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}+\sqrt{x}\cdot(-e^{-x})=e^{-x}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)$$
$$f'(x)=\frac{1-2x}{2e^x\sqrt{x}}$$
$$f'(1)=\frac{1-2}{2e\cdot 1}=-\frac{1}{2e}$$
Ответ: а) $$\frac{4}{e^2}$$; б) $$\frac{4e}{3}$$; в) $$-9{,}9$$; г) $$-\frac{1}{2e}$$.
