Упр.19.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 19.5. Найдите значение производной заданной функции в указанной точке $$x_0$$:
   а) $$y=e^x+x^2$$, $$x_0=0$$;
   в) $$y=e^x-x$$, $$x_0=1$$;
   б) $$y=e^x(x+1)$$, $$x_0=-1$$;
   г) $$y=\frac{e^x}{x+1}$$, $$x_0=0$$.

Найдём производную каждой функции и подставим указанное значение $$x_0$$.

1. $$y=e^x+x^2,\quad x_0=0$$

   $$y’=(e^x)’ + (x^2)’ = e^x + 2x$$

   $$y'(0)=e^0+2\cdot 0=1$$

2. $$y=e^x(x+1),\quad x_0=-1$$

   $$y’=(e^x)'(x+1)+e^x(x+1)’=e^x(x+1)+e^x=e^x(x+2)$$

   $$y'(-1)=e^{-1}(-1+2)=e^{-1}=\frac{1}{e}$$

3. $$y=e^x-x,\quad x_0=1$$

   $$y’=(e^x)’-(x)’=e^x-1$$

   $$y'(1)=e-1$$

4. $$y=\frac{e^x}{x+1},\quad x_0=0$$

   $$y’=\frac{(e^x)'(x+1)-e^x(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}$$

   $$y'(0)=\frac{0\cdot e^0}{(0+1)^2}=0$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$\frac{1}{e}$$; в) $$e-1$$; г) $$0$$.