Упр.19.46 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 19.46. Расположите комплексные числа в порядке возрастания их аргументов:
   $$z_1=\log_2(0{,}7)+i\log_{0{,}5}(7),\quad z_2=\ln 10+i\lg e,\quad z_3=\ln\pi+i\ln(\pi-3),\quad z_4=\log_3(0{,}3)+\log_{0{,}3}(0{,}9).$$
   Указание: $$-\pi<\arg z\leq\pi.$$

Рассмотрим каждое число как точку комплексной плоскости.

$$z_1=\log_2 0{,}7+i\log_{0{,}5}7$$

Так как $$\log_2 0{,}7<0$$ и $$\log_{0{,}5}7<0,$$ то точка $$z_1$$ лежит в III четверти, значит

$$-\pi<\arg z_1<-\frac{\pi}{2}.$$

Далее:

$$z_2=\ln 10+i\lg e.$$

Здесь $$\ln 10>0$$ и $$\lg e>0,$$ значит $$z_2$$ лежит в I четверти, поэтому

$$0<\arg z_2<\frac{\pi}{2}.$$

Аналогично для

$$z_3=\ln \pi+i\ln(\pi-3)$$

имеем $$\ln \pi>0,$$ а $$\ln(\pi-3)<0,$$ следовательно, $$z_3$$ лежит в IV четверти, и

$$-\frac{\pi}{2}<\arg z_3<0.$$

Наконец,

$$z_4=\log_3 0{,}3+i\log_{0{,}3}0{,}9.$$

Так как $$\log_3 0{,}3<0$$ и $$\log_{0{,}3}0{,}9>0,$$ то $$z_4$$ лежит во II четверти, значит

$$\frac{\pi}{2}<\arg z_4<\pi.$$

Следовательно, в порядке возрастания аргументов числа располагаются так:

$$z_1,\ z_3,\ z_2,\ z_4.$$

Ответ

$$z_1,\ z_3,\ z_2,\ z_4$$